2018-2019《大学数学微积分B1》试卷及答案

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2018-2019学年第一学期期末考试

《高等数学BⅠ》

考生注意事项

1．答题前，考生须在试题册指定位置上填写考生教学号和考生姓名；在答题卡指定位置上填写考试科目、考生姓名和考生教学号，并涂写考生教学号信息点。

2．选择题的答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上，非选择题的答案必须书写在答题卡指定位置的边框区域内。超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题册上答题无效。

3．填（书）写部分必须使用黑色字迹签字笔书写，字迹工整、笔迹清楚；涂写部分必须使用2B铅笔填涂。

4．考试结束，将答题卡和试题册按规定交回。

(以下信息考生必须认真填写)

考生教学号 考生姓名

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一、选择题：1～6小题，每小题3分，共18分．下列每题给出的四个选项

中，只有一个选项是符合题目要求的．请将答案写在答题卡上，写在试题册上无效． 1. lim(1+n)=（ B ）.

n→1n1（A）0 （B）1 （C）e （D）

ef(1)−f(1−x)=−1，则曲线y=f(x)2. 设f(x)为可导函数，且满足条件limx→02x在点(1,f(1))处的切线的斜率等于（ C ）.

（A）2 （B）−1 （C）−2 （D）

x1 23. 设F(x)=(x−t)f(t)dt f(x)为连续函数，且f(0)=0，f(x)0，则

0y=F(x)在（0，+）内（ A ）.

（A）单调增加且为下凸 （B）单调增加且为上凸 （C）单调减少且为下凸 （D）单调减少且为上凸 4. 曲线y=1+e−x1−e2−x2（ D ）.

（A）没有渐近线 （B）仅有水平渐近线

（C）仅有铅直渐近线 （D）既有水平渐近线又有铅直渐近线 5. 若lnf(t)=sint，则tf(t)dt=（ A ）. f(t)（A）tsint+cost+C （B）tsint−cost+C （C）tsint+tcost+C （D）tsint+C

sintdtlnx成立的x的范围是（ C ）. 1tππ（A）(1,) （B）(,π) （C）(0,1) （D）(π,+)

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6. 使不等式x《高等数学BⅠ》试题答案 第 1 页 （共 5 页）

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二、填空题：7～12小题，每小题3分，共18分．

7. 设当x→0时，(1−cosx)ln(1+x2)是比sinxn高阶的无穷小，而sinxn是比

ex−1高阶的无穷小，则正整数n等于 3 . 28．设函数y=y(x)由方程e2x+y−cos(xy)=e−1所确定，求

dydx= −2 .

x=09. 函数y=ln(1−2x)在x=0处的n(n2)阶导数f(n)(0)= −2n(n−1)! . 10. x2−xdx=

−10211 ． 611exdx= 1 ． 11. 2−xx2y2=1绕x轴旋转一周而形成的旋转曲面的方程12. Oxy平面上的椭圆+49x2y2+z2+=1 . 是 49三、解答题：13～19小题，共64分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

13.（本题满分10分）

求函数f(x)=sinx的间断点，并判断间断点的类型. 3x−xsinxsinx=，显然x=0,−1,1为间断点. 2分 x−x3x(1−x)(1+x)【解】因为f(x)=于是

limf(x)=limx→0x→0x=， 4分

x(1−x)(1+x)1sinx1cosx=−lim= 6分 limf(x)=−limx→−1x→−1x→−121+x2121sinx1cosx=lim=， 8分 limf(x)=limx→1x→1x→121−x2−12所以x=0,−1,1是第一类中的可去间断点. 10分

《高等数学BⅠ》试题答案 第 2 页 （共 5 页）

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14.（本题满分10分）

d2yx=cost+tsint,设，求2dxy=sint−tcost【解】由题意，得

t=4.

dy(sint−tcost)cost−cost+tsintdy===tant,=1. 5分

dx(cost+tsint)−sint+sint+tcostdxt=4d2y82dx2=dtantdtdtdx=1d2ytcos3t,dx2t==. 4

15.（本题满分10分）

求1x21+x2dx． 【解】设x=tant,−2x2,，则dx=sec2tdt，于是 原式=sec2tdttan2t1+tan2t =costsin2tdt =sin−2tdsint=−csct+C 1+x2=−x+C. 16．（本题满分10分）

求函数y=2x3−6x2−18x−7的极值.

【解】y=6x2−12x−18=6(x−3)(x+1), 令y=0,得驻点x1=3,x2=−1. 又y=12x−12,y(3)=240,y(−1)=−240, 《高等数学BⅠ》试题答案 第 3 页 （共 5 页）

10分 3分 5分 9分

10分

2分 5分 8分

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所以极大值y(−1)=3，极小值y(3)=−61. 10分

17.（本题满分10分）

求由曲线y=x，直线x=1,x=4,y=0所围成的平面图形的面积及该图形绕y轴旋转一周所形成的立体的体积.

【解】（1） S=41xdx 2分

42314=x2= 5分 313（2） 解法1： Vy=2xxdx 7分

1445124=x2= 10分

5514解法2： Vy=32−y4dy− 7分

12=124 10分 5

18.（本题满分8分）

πx+5y+z=0，求过直线L:且与平面x−4y−8z+12=0交成角的平面

4x−z+4=0方程．

【解1】过已知直线L的平面束方程为

(x−z+4)+(x+5y+z)=0，

即(1+)x+5y+(−1)z+4=0. 2分 已知平面的法向量为(1,−4,−8). 由题设条件，有

cos(1+)−45−8(−1)π， =2222224(1+)+(5)+(−1)1+(−4)+(−8)即

−3+142，由此解得=0或=−. 6分 =32272+2《高等数学BⅠ》试题答案 第 4 页 （共 5 页）

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4将=0或=−分别代入平面束方程，得所求平面方程为

3 x−z+4=0，x+20y+7z−12=0. 8分 【解2】过已知直线L的平面束方程为

(x−z+4)+(x+5y+z)=0，

即(1+)x+5y+(1−)z+4=0. 2分 已知平面的法向量为(1,−4,−8). 由题设条件，有

cos(1+)−45−8(1−)π， =2222224(1+)+5+(1−)1+(−4)+(−8)即

−332，由此解得=−. 6分 =4227+223将=−分别代入平面束方程，得所求平面方程为

4 x+20y+7z−12=0. 7分

另外，x−z+4=0也是所求平面方程. 8分

19.（本题满分6分）

设函数f(x)在0,2π上连续，在(0,2π)内可导，且f(0)=1,f(π)=3,f(2π)=2. 试证明在(0,2π)内至少存在一点，使f()+f()cos=0.

【证】 构造函数F(x)=f(x)esinx. 2分 因为F(x)在0,2π上连续，在(0,2π)内可导，且

F(0)=1,F(π)=3,F(2π)=2. 3分

因为2是介于F(0)=1与F(π)=3之间的，故由闭区间上连续函数的介值定理知，在(0,π)内存在一点c使得F(c)=2=F(2π)． 5分

于是在c,2π上函数F(x)满足罗尔定理的条件，所以

F()=f()+f()cosesin=0,(c,2π)(0,2π).

则原结论成立． 6分

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