人教版八年级数学上《三角形的高、中线与角平分线》拓展练习

《三角形的高、中线与角平分线》拓展练习

一、选择题（ 本大题共5小题，共25.0分）

1．（5分）如图，△ABC的三边长均为整数，且周长为22，AM是边BC上的中线，△ABM的周长比△ACM的周长大2，则BC长的可能值有（ ）个．

A．4

B．5

C．6

D．7

2．（5分）下列说法中，正确的个数是（ ）

①三角形的中线、角平分线、高都是线段；②三角形的三条角平分线、三条中线、三条高都在三角形内部；③直角三角形只有一条高；④三角形的三条角平分线、三条中线、三条高分别交于一点． A．1

B．2

C．3

D．4

3．（5分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ADC＝90°，则△ABC斜边AB上的高为（ ）

A．CD

B．AC

C．BC

D．BD

4．（5分）若三角形的三条高的交点在这个三角形的内部，那么这个三角形是（ ） A．锐角三角形

B．直角三角形

C．钝角三角形

D．等边三角形

5．（5分）如图，AD是△ABC的中线，AB＝5，AC＝3，△ABD的周长和△ACD的周长差为（ ）

A．6

B．3

C．2

D．不确定

二、填空题（ 本大题共5小题，共25.0分）

第1页（共12页）

6．（5分）如图，△ABC中，BC边所在直线上的高是线段 ．

7．（5分）如图，已知AE是△ABC的边BC上的中线，若AB＝8cm，△ACE的周长比△AEB的周长多2cm，则AC＝ cm．

8．（5分）如图所示：在△AEC中，AE边上的高是 ．

9．（5分）如图

①AD是△ABC的角平分线，则∠ ＝∠ ＝∠ ， ②AE是△ABC的中线，则 ＝ ＝ ， ③AF是△ABC的高线，则∠ ＝∠ ＝90°．

10．（5分）若一个三角形的三条高线交点恰好是此三角形的一个顶点，则此三角形是 三角形．

三、解答题（ 本大题共5小题，共50.0分）

11．（10分）在△ABC中，CD⊥AB于D，CE是∠ACB的平分线，∠A＝20°，∠B＝60°．求∠BCD和∠ECD的度数．

第2页（共12页）

12．（10分）如图，在△ABC中（AB＞BC），AC＝2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60和40两部分，求AC和AB的长．

13．（10分）如图，在△ABC中（AC＞AB），AC＝2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60cm和40cm两部分，求边AC和AB的长．（提示：设CD＝x cm）

14．（10分）如图，已知△ABC的周长为21cm，AB＝6cm，BC边上的中线AD＝5cm，△ABD的周长为15cm，求AC的长．

15．（10分）如图，△ABC的周长是21cm，AB＝AC，中线BD分△ABC为两个三角形，且△ABD的周长比△BCD的周长大6cm，求AB，BC．

第3页（共12页）

《三角形的高、中线与角平分线》拓展练习

参与试题解析

一、选择题（ 本大题共5小题，共25.0分）

1．（5分）如图，△ABC的三边长均为整数，且周长为22，AM是边BC上的中线，△ABM的周长比△ACM的周长大2，则BC长的可能值有（ ）个．

A．4

B．5

C．6

D．7

【分析】依据△ABC的周长为22，△ABM的周长比△ACM的周长大2，可得2＜BC＜11，再根据△ABC的三边长均为整数，即可得到BC＝4，6，8，10． 【解答】解：∵△ABC的周长为22，△ABM的周长比△ACM的周长大2， ∴2＜BC＜22﹣BC， 解得2＜BC＜11，

又∵△ABC的三边长均为整数，△ABM的周长比△ACM的周长大2， ∴AC＝

为整数，

∴BC边长为偶数， ∴BC＝4，6，8，10， 故选：A．

【点评】本题主要考查了三角形三边关系的运用，解题时注意：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边． 2．（5分）下列说法中，正确的个数是（ ）

①三角形的中线、角平分线、高都是线段；②三角形的三条角平分线、三条中线、三条高都在三角形内部；③直角三角形只有一条高；④三角形的三条角平分线、三条中线、

第4页（共12页）

三条高分别交于一点． A．1

B．2

C．3

D．4

【分析】根据三角形的三条中线都在三角形内部； 三角形的三条角平分线都在三角形内部；

三角形三条高可以在内部，也可以在外部，直角三角形有两条高在边上． 【解答】解：①三角形的中线、角平分线、高都是线段，故正确； ②钝角三角形的高有两条在三角形外部，故错误；

③直角三角形有两条直角边和直角到对边的垂线段共三条高，故错误；

④三角形的三条角平分线、三条中线分别交于一点是正确的，三条高线所在的直线一定交于一点，高线指的是线段，故错误． 所以正确的有1个． 故选：A．

【点评】本题考查对三角形的中线、角平分线、高的正确理解．

3．（5分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ADC＝90°，则△ABC斜边AB上的高为（ ）

A．CD

B．AC

C．BC

D．BD

【分析】根据三角形高线的定义即可得． 【解答】解：∵∠ADC＝90°， ∴CD⊥AB，

∴CD是△ABC斜边上的高， 故选：A．

【点评】本题主要考查三角形的角平分线、中线和高，解题的关键是掌握从三角形的一个顶点向底边所在直线作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．

4．（5分）若三角形的三条高的交点在这个三角形的内部，那么这个三角形是（ ） A．锐角三角形

B．直角三角形

C．钝角三角形

D．等边三角形

【分析】锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条

第5页（共12页）

高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．根据三角形的高的概念，即可得出答案．

【解答】解：若三角形的三条高的交点在这个三角形的内部，那么这个三角形是锐角三角形． 故选：A．

【点评】本题主要考查了三角形的高，从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．

5．（5分）如图，AD是△ABC的中线，AB＝5，AC＝3，△ABD的周长和△ACD的周长差为（ ）

A．6

B．3

C．2

D．不确定

【分析】根据三角形的周长的计算方法得到△ABD的周长和△ADC的周长的差就是AB与AC的差．

【解答】解：∵AD是△ABC中BC边上的中线， ∴BD＝DC＝BC，

∴△ABD和△ADC的周长的差， ＝（AB+BC+AD）﹣（AC+BC+AD）， ＝AB﹣AC， ＝5﹣3， ＝2， 故选：C．

【点评】本题考查三角形的中线的定义以及周长的计算方法，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． 二、填空题（ 本大题共5小题，共25.0分）

6．（5分）如图，△ABC中，BC边所在直线上的高是线段 AD ．

第6页（共12页）

【分析】根据三角形的高的概念解答即可．

【解答】解：△ABC中，BC边所在直线上的高是线段AD， 故答案为：AD

【点评】此题考查三角形的高，关键是根据三角形的高的概念解答．

7．（5分）如图，已知AE是△ABC的边BC上的中线，若AB＝8cm，△ACE的周长比△AEB的周长多2cm，则AC＝ 10 cm．

【分析】依据AE是△ABC的边BC上的中线，可得CE＝BE，再根据AE＝AE，△ACE的周长比△AEB的周长多2cm，即可得到AC的长． 【解答】解：∵AE是△ABC的边BC上的中线， ∴CE＝BE，

又∵AE＝AE，△ACE的周长比△AEB的周长多2cm， ∴AC﹣AB＝2cm， 即AC﹣8＝2cm， ∴AC＝10cm， 故答案为：10；

【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，求出两个三角形的周长的差等于两边的差是解题的关键．

8．（5分）如图所示：在△AEC中，AE边上的高是 CD ．

【分析】根据三角形高的定义即可求解．

【解答】解：由高的定义可知，在△AEC中，AE边上的高是CD．

第7页（共12页）

故答案为：CD．

【点评】考查了三角形的高，关键是熟练掌握三角形高的定义． 9．（5分）如图

①AD是△ABC的角平分线，则∠ BAD ＝∠ DAC ＝∠ BAC ， ②AE是△ABC的中线，则 BE ＝ EC ＝ BC ， ③AF是△ABC的高线，则∠ AFB ＝∠ AFC ＝90°．

【分析】根据三角形的中线的概念即可完成填空；根据三角形的角平分线的概念即可完成填空；根据三角形的高的概念即可完成填空．

【解答】解：①AD是△ABC的角平分线，则∠BAD＝∠DAC＝∠BAC， ②AE是△ABC的中线，则BE＝EC＝BC， ③AF是△ABC的高线，则∠AFB＝∠AFC＝90°， 故答案为：BAD；DAC；BAC；BE；EC；BC；AFB；AFC

【点评】此题考查三角形的角平分线、中线、高问题，能够根据三角形的中线、角平分线和高的概念得到线段、角之间的关系．

10．（5分）若一个三角形的三条高线交点恰好是此三角形的一个顶点，则此三角形是 直角 三角形．

【分析】根据三角形的高的概念，结合已知条件，即可得出答案．

【解答】解：若一个三角形三条高的交点在这个三角形的顶点上，则这个三角形是直角三角形． 故答案为：直角．

【点评】本题主要考查三角形的高的概念，属于基础题型．注意：锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点；直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点． 三、解答题（ 本大题共5小题，共50.0分）

第8页（共12页）

11．（10分）在△ABC中，CD⊥AB于D，CE是∠ACB的平分线，∠A＝20°，∠B＝60°．求∠BCD和∠ECD的度数．

【分析】由CD⊥AB与∠B＝60°，根据两锐角互余，即可求得∠BCD的度数，又由∠A＝20°，∠B＝60°，求得∠ACB的度数，由CE是∠ACB的平分线，可求得∠ACE的度数，然后根据三角形外角的性质，求得∠CEB的度数． 【解答】解：∵CD⊥AB， ∴∠CDB＝90°， ∵∠B＝60°，

∴∠BCD＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°；

∵∠A＝20°，∠B＝60°，∠A+∠B+∠ACB＝180°， ∴∠ACB＝100°， ∵CE是∠ACB的平分线， ∴∠ACE＝∠ACB＝50°，

∴∠CEB＝∠A+∠ACE＝20°+50°＝70°， ∠ECD＝90°﹣70°＝20°

【点评】此题考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质以及三角形高线，角平分线的定义等知识．此题难度不大，解题的关键是数形结合思想的应用．

12．（10分）如图，在△ABC中（AB＞BC），AC＝2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60和40两部分，求AC和AB的长．

【分析】先根据AD是BC边上的中线得出BD＝CD，设BD＝CD＝x，AB＝y，则AC＝4x，再分△ACD的周长是60与△ABD的周长是60两种情况进行讨论即可． 【解答】解：∵AD是BC边上的中线，AC＝2BC，

第9页（共12页）

∴BD＝CD，

设BD＝CD＝x，AB＝y，则AC＝4x， 分为两种情况：①AC+CD＝60，AB+BD＝40， 则4x+x＝60，x+y＝40， 解得：x＝12，y＝28， 即AC＝4x＝48，AB＝28； ②AC+CD＝40，AB+BD＝60， 则4x+x＝40，x+y＝60， 解得：x＝8，y＝52，

即AC＝4x＝32，AB＝52，BC＝2x＝16， 此时不符合三角形三边关系定理； 综合上述：AC＝48，AB＝28．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系定理的应用，注意：要分情况进行讨论．

13．（10分）如图，在△ABC中（AC＞AB），AC＝2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60cm和40cm两部分，求边AC和AB的长．（提示：设CD＝x cm）

【分析】先根据AD是BC边上的中线得出BD＝CD，设BD＝CD＝x，AB＝y，则AC＝4x，再分△ACD的周长是60与△ABD的周长是60两种情况进行讨论即可． 【解答】解：∵AD是BC边上的中线，AC＝2BC， ∴BD＝CD，

设BD＝CD＝x，AB＝y，则AC＝4x， 分为两种情况：

①AC+CD＝60，AB+BD＝40， 则4x+x＝60，x+y＝40， 解得：x＝12，y＝28， 即AC＝4x＝48，AB＝28；

第10页（共12页）

②AC+CD＝40，AB+BD＝60， 则4x+x＝40，x+y＝60， 解得：x＝8，y＝52，

即AC＝4x＝32，AB＝52，BC＝2x＝16， 此时不符合三角形三边关系定理； 综合上述：AC＝48cm，AB＝28cm．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系定理的应用，注意：要分情况进行讨论．

14．（10分）如图，已知△ABC的周长为21cm，AB＝6cm，BC边上的中线AD＝5cm，△ABD的周长为15cm，求AC的长．

【分析】先根据△ABD周长为15cm，AB＝6cm，AD＝5cm，由周长的定义可求BD的长，再根据中线的定义可求BC的长，由△ABC的周长为21cm，即可求出AC长． 【解答】解：∵AB＝6cm，AD＝5cm，△ABD周长为15cm， ∴BD＝15﹣6﹣5＝4cm， ∵AD是BC边上的中线， ∴BC＝8cm，

∵△ABC的周长为21cm， ∴AC＝21﹣6﹣8＝7cm． 故AC长为7cm．

【点评】考查了三角形的周长和中线，本题的关键是由周长和中线的定义得到BC的长，题目难度中等．

15．（10分）如图，△ABC的周长是21cm，AB＝AC，中线BD分△ABC为两个三角形，且△ABD的周长比△BCD的周长大6cm，求AB，BC．

第11页（共12页）

【分析】由BD是中线，可得，△ABD的面积与△CBD的面积的比为1：1，AD＝CD，又由△ABD的周长比△BCD的周长大6cm，△ABC的周长是21cm，AB＝AC，可得AB﹣BC＝6cm，2AB+BC＝21cm，继而求得答案． 【解答】解：∵BD是中线， ∴AD＝CD＝AC，

∵△ABD的周长比△BCD的周长大6cm，

∴（AB+AD+BD）﹣（BD+CD+BC）＝AB﹣BC＝6cm①， ∵△ABC的周长是21cm，AB＝AC， ∴2AB+BC＝21cm②，

联立①②得：AB＝9cm，BC＝3cm．

【点评】此题考查了三角形面积与三角形的中线．注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．

第12页（共12页）