高等数学II试卷及答案

xy0xy0

，则极限limf(x,y)= 。

x0y011xsinysin1、函数f(x,y)yx0(A)不存在 2、设函数z

(B)等于1 (C)等于零 (D)等于2

1x2y2，则点(0,0)是函数z的

（A）极大值点但非最大值点 （B）极大值点且是最大值点

（C）极小值点但非最小值点 （D）极小值点且是最小值点 3、设f(x,y)为连续函数，则积分 可交换积分次序为 4、

级数

n11cos n1n（常数0）

（A）发散； （B）条件收敛； （C）绝对收敛； （D）敛散性与有关。

35、幂级数1xn的收敛半径是

nn133(A) 1 ； (B) e ； (C) e ； (D) 1. 6、微分方程yyxcos2x的一个特解应具有形式

2（A）(AxB)cos2x(CxD)sin2x （B）(AxBx)cos2x （C）Acos2xBsin2x （D）(AxB)cos2x

答 1、 2、 3、 4、 5、 6、 n2一. 填空题（将正确答案填在横线上）（本大题共 4小题，每小题4分，总计 16

分 ）

1、设函数f(x,y)xy,(x,y)xy，则ff(x,y),(x,y)= 。 2、曲线xt,y2t,z222131t在点(1,2,)处的切线方程是 。 33n3、曲线上任一点(x,y)处的切线斜率为该点横坐标的平方，则此曲线的方程是 。 4、如果幂级数

得分 阅卷人 ax1nn0在x1处收敛，在x3处发散，则它的收敛域是 .

二. 解答下列各题（本大题共 2小题，总计 12 分 ）

1、（5分）设zln(ytanx)，求zx,zy。

2、（7分）求函数uezzxy在点（2,1,0）处沿曲面ezzxy3法线方

向的方向导数。 四、解答下列各题（本大题共 2小题，总计 14分 ） 得分 阅卷人 1、(7分)计算二重积分

Dx2y24dxdy 其中D：x2+y2≤9.

2、（7分）设f (x,y)为连续函数，写出积分

在极坐标系中先积r后积θ的二次积分。（要求：必须画出积分区域的图形）

得分 阅卷人 五、解答下列各题（本大题共 2小题，总计 15 分 ）

11、（7分）判别级数的敛散性。 n[ln(1n)]n12、（8分 ）求幂级数

nxn1n1的收敛域及和函数.

得分 阅卷人 六、解答下列各题（本大题共 3小题，总计 19分 ）

1、（5分）求微分方程7x(t)x(t)0 的通解。 2、（7分）

求微分方程(2x1)y4ey20的通解。

x2x2xn13、（7分）设ylim(1x)1x n2!3!(n1)!dyxy试证明y是初始值问题dx的解。

yx00《高等数学Ⅱ》期末考试

参考答案及评分标准

三. 单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在大题末的

表格中）（本大题共 6 小题，每小题 4分，总计 24 分 ）

答 1、 C 2、 B 3、 C 4、 C 5、 B 6、 A 四. 填空题（将正确答案填在横线上）（本大题共 4 小题，每小题 4分，总计

1、2、

16 分 ）

ff(x,y),(x,y)(x2y2)2(xy)2。

x1y21z 223133、yxC

34、[1,3)

三、解答下列各题（本大题共 2 小题，总计 12 分 ）

1、 zx2、

ny,x,ez11

sinxcosx15

2,1,0（3分） zy1,2,0 2分 25cos0

1 y （5分）

coscos3分

uy2,1,01x2,1,0ux2,1,02y2,1,0uez102,1,0z2,1,01u2 7分 205 n55四、解答下列各题（本大题共 2小题，总计 14分 ）

1、解 D分为D1：x2+y2－4≤0. D2:4≤x2+y2≤9 2分

5分

Dx2y24dxdy20d(4r2)rdrd(r24)rdr 5分

00222341 7分 2=

7

2、解

五、解答下列各题（本大题共 2小题，总计 15 分 ） 1、解法1 记un1ln(1n)n0

有

（3分）

而lim1nlnn20，故

limun1nu01 （5分） n由比值判别法，原级数

1

（7分）

n1ln(1n)n收敛。 解法2 因为ln(1n)2(n8) 所以

1ln(1n)12(n8)  于是

1[ln(1n)]n12n(n8) 4分 又 12n收敛， 5分

n1由比较审敛法，原级数

1n1ln(1n)n收敛。 （7分）

2、解 收敛域（-1，1） 2分

nxn1x22) 4分

n1nxn1x(n1xnn1 x2(x1x) 6分 (x1x)2 8分 六、 解答下列各题 （本大题 3小题，总计19 分 ）

1、特征方程为： 特征根为：

11027 （3分）

通解为：

yC11C2e7t

（5分）

2、

解法一：dy4ey2dx2x1 （3分） ln(ey2)ln(2x1)lnC

（5分） 即

(ey2)(2x1)C

（7分）

解法二：原方程化为

3分

dey24ey （3分） dx2x12x12dx2dx4y2x12x1（5分） eeedx C2x11 （7分） {C4x}

2x1x3、y(x)(x1)e （3分） y1exxy （5分）

（7分） y(0)0 故y为初始值问题的解。