初中数学九年级下册《余弦函数和正切函数》教案、教学设计

一、教学目标

1．理解余弦、正切的概念；(重点)

2．熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算。(重点)

二、教学过程

1、情境导入

教师提问：我们是怎样定义直角三角形中一个锐角的正弦的？为什么可以这样定义？

学生回答后教师提出新问题：在上一节课中我们知道，如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，当锐角∠A确定时，∠A的对边与斜边的比就随之确定了．现在我们要问：其他边之间的比是否也确定了呢？为什么？

2、合作探究

探究点一：余弦函数和正切函数的定义 【类型一】 利用余弦的定义求三角函数值

在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，则cosA＝( ) 551212A. B. C. D. 1312135

解析：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，∴cosA＝C。

方法总结：在直角三角形中，锐角的余弦等于这个角的邻边与斜边的比值。 【类型二】 利用正切的定义求三角函数值

如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格

点上，则tanA＝( )

AC12

＝.故选AB13

3434A. B. C. D. 53

解析：在直角△ABC中，∵∠ABC＝90°，∴tanA＝

BC4

＝.故选D. AB3

方法总结：在直角三角形中，锐角的正切等于它的对边与邻边的比值． 探究点二：三角函数的增减性 【类型一】 判断三角形函数的增减性 随着锐角α的增大，cosα的值( ) A．增大 B．减小 C．不变 D．不确定

解析：当角度在0°～90°之间变化时，余弦值随着角度的增大而减小，故选B.

方法总结：当0°＜α＜90°时，cosα的值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)．

【类型二】 比较三角函数的大小 sin70°，cos70°，tan70°的大小关系是( ) A．tan70°＜cos70°＜sin70° B．cos70°＜tan70°＜sin70° C．sin70°＜cos70°＜tan70° D．cos70°＜sin70°＜tan70°

解析：根据锐角三角函数的概念，知sin70°＜1，cos70°＜1，tan70°＞1.又∵cos70°＝sin20°，正弦值随着角的增大而增大，∴sin70°＞cos70°＝sin20°.故选D.

方法总结：当角度在0°≤∠A≤90°之间变化时，0≤sinA≤1，0≤cosA≤1，tanA≥0.

探究点三：求三角函数值 【类型一】 三角函数与圆的综合

如图所示，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，过点C

的切线交AD的延长线于点E，且AE⊥CE，连接CD.

(1)求证：DC＝BC；

(2)若AB＝5，AC＝4，求tan∠DCE的值．

︵︵

解析：(1)连接OC，求证DC＝BC可以先证明∠CAD＝∠BAC，进而证明DC＝BC；(2)由AB＝5，AC＝4，可根据勾股定理得到BC＝3，易证△ACE∽△ABC，可以求出CE、DE的长，在Rt△CDE中根据三角函数的定义就可以求出tan∠DCE的值．

(1)证明：连接OC.∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA.∵CE是⊙O的切线，∴∠OCE＝90°.∵AE⊥CE，∴∠AEC＝∠OCE＝90°，∴OC∥AE，∴∠OCA＝∠CAD，∴∠︵︵

CAD＝∠BAC，∴DC＝BC.∴DC＝BC；

(2)解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴BC＝AB2－AC2＝52－42＝ECACEC

3.∵∠CAE＝∠BAC，∠AEC＝∠ACB＝90°，∴△ACE∽△ABC，∴＝，即＝

BCAB3412

，EC＝.∵DC＝BC＝3，∴ED＝DC2－CE2＝559ED53＝＝。 EC124

5

方法总结：证明圆的弦相等可以转化为证明弦所对的弧相等．利用圆的有关性质，寻找或构造直角三角形来求三角函数值，遇到比较复杂的问题时，可通过全等或相似将线段进行转化．

【类型二】 利用三角形的边角关系求三角函数值 如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC＝14，AD＝12，tan∠BAD

3

＝，求sinC的值。 4

1229

3－（）＝，∴tan∠DCE＝

55

2

3

解析：根据tan∠BAD＝，求得BD的长．在直角△ACD中由勾股定理可求

4AC的长，然后利用正弦的定义求解．

BD33

解：∵在直角△ABD中，tan∠BAD＝＝，∴BD＝AD·tan∠BAD＝12×＝

AD449，∴CD＝BC－BD＝14－9＝5，∴AC＝AD2＋CD2＝122＋52＝13，∴sinC＝

AD12

＝. AC13

方法总结：在不同的直角三角形中，要根据三角函数的定义，分清它们的边角关系，结合勾股定理是解答此类问题的关键。

3、板书设计

（1）余弦函数的定义； （2）正切函数的定义； （3）锐角三角函数的增减性。

三、教学反思

在数学学习中，有一些学生往往不注重基本概念、基础知识，认为只要会做题就可以了，结果往往失分于选择题、填空题等一些概念性较强的题目．通过引导学生进行知识梳理，教会学生如何进行知识的归纳、总结，进一步帮助学生理解、掌握基本概念和基础知识。