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2012年北京高考理科数学试题及答案

来源:花图问答
2012年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)

数学(理科)

本试卷共5页. 150分.考试时长120分钟.考试生务必将答案答在答题卡上.在试卷上作答无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.

第一部分(选择题共40分)

一、选择题共8小题。每小题5分.共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合胜目要求的一项.

1.已知集合A={x∈R|3x+2>0} B={x∈R|(x+1)(x-3)>0} 则A∩B= A (-,-1)B (-1,-

2.设不等式组22) C (-,3)D (3,+) 330x2,,表示平面区域为D,在区域D内随机取一个点,则此点到坐标

0y2原点的距离大于2的概率是 (A)

24 (B) (C) (D)

24463.设a,b∈R。“a=0”是“复数a+bi是纯虚数”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

4.执行如图所示的程序框图,输出的S值为( )A. 2 B .4 C.8 D. 16

5.如图. ∠ACB=90º,CD⊥AB于点D,以BD为直径的圆与BC交于点E.则( ) CE•CB=AD•DB B. CE•CB=AD•AB C. A. AD•AB=CD2

D. CE•EB=CD2

6.从0,2中选一个数字.从1.3.5中选两个数字,组成无重复数字的三位数.其中奇数的个数为( )

A. 24 B. 18 C. 12 D. 6

7.某三棱锥的三视图如图所示,该三梭锥的表面积是( )

A. 28+65 B. 30+65 C. 56+ 125 D. 60+125

8.某棵果树前n前的总产量S与n之间的关系如图所示.从目前记录的结果看,前m年的年平均产量最高。m值为( ) A.5 B.7 C.9 D.11

第二部分(非选择题共110分)

二.填空题共6小题。每小题5分。共30分.

x2tx3cos9.直线(t为参数)与曲线(为参数)的交点个数为______。

y1ty3sin10.已知{an}等差数列Sn为其前n项和。若a111.在△ABC中,若a=2,b+c=7,cosB=1,S2a3,则a2=_______。 21,则b=_______。 412.在直角坐标系xOy中,直线l过抛物线=4x的焦点F.且与该撇物线相交于A、B两点.其中点A在x轴上方。若直线l的倾斜角为60º.则△OAF的面积为 13.已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,则DECB的值为________,

DEDC的最大值为______。

14.已知f(x)m(x2m)(xm3),g(x)22,若同时满足条件: ①xR,f(x)0或g(x)0; ②x(,4), f(x)g(x)0。 则m的取值范围是_______。

三、解答题公6小题,共80分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 15.(本小题共13分) 已知函数f(x)x(sinxcosx)sin2x。

sinx(1)求f(x)的定义域及最小正周期; (2)求f(x)的单调递增区间。

16.(本小题共14分)

如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=6,D,E分别是AC,AB上的点,且DE∥BC,DE=2,将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1C⊥CD,如图2. (I)求证:A1C⊥平面BCDE;

(II)若M是A1D的中点,求CM与平面A1BE所成角的大小;

(III)线段BC上是否存在点P,使平面A1DP与平面A1BE垂直?说明理由

17.(本小题共13分)

近年来,某市为了促进生活垃圾的风分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类,并分别设置了相应分垃圾箱,为调查居民生活垃圾分类投放情况,现随机抽取了

该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾,数据统计如下(单位:吨): 厨余垃圾 可回收物 其他垃圾

“厨余垃圾”箱 “可回收物”箱 “其他垃圾”箱 400 30 20

100 240 20

100 30 60

(Ⅰ)试估计厨余垃圾投放正确的概率; (Ⅱ)试估计生活垃圾投放错误额概率;

(Ⅲ)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a,b,c其中a>0,abc=600。当数据a,b,c的方差s最大时,写出a,b,c的值(结论不要求证明),并求此时s的值。 (注:s

18.(本小题共13分)

2已知函数f(x)ax1a0,g(x)xbx.

32221 [(x1x)2(x2x)2(xnx)2],其中x为数据x1,x2,,xn的平均数)

n(1)若曲线yf(x)与曲线yg(x)在它们的交点1,c处具有公共切线,求a,b的值; (2)当a24b时,求函数f(x)g(x)的单调区间,并求其在区间,1上的最大值.

19.(本小题共14分)

已知曲线C:5mxm2y8mR.

22(1)若曲线C是焦点在x轴上的椭圆,求m的取值范围;

(2)设m4,曲线C与y轴的交点为A,B(点A位于点B的上方),直线ykx4与

曲线C交于不同的两点M,N,直线y1与直线BM交于点G,求证:A,G,N 三点共线.

20.(本小题共13分)

设A是由mn个实数组成的m行n列的数表,满足:每个数的绝对值不大于1,且所有数的和为零. 记Sm,n为所有这样的数表组成的集合. 对于ASm,n,记ri(A)为A的第i行各数之和(1i,cj(A)为A的第j列各数之和(1m)

j;记k(A)为n)

r1(A),r2(A),…,rm(A),c1(A),c2(A),…,cn(A)中的最小值.

(1)对如下数表A,求k(A)的值; 1 0.1 1 0.3 0.8 1 (2)设数表AS2,3形如 1 a 1 b c 1

求k(A)的最大值;

(3)给定正整数t,对于所有的AS2,2t1,求k(A)的最大值.

2012年北京市高考数学试卷(理科)

参与试题解析

一、选择题共8小题.每小题5分.共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合胜目要求的一项. 1.(5分)(2012•北京)已知集合A={x∈R|3x+2>0},B={x∈R|(x+1)(x﹣3)>0},则A∩B=( ) A. (﹣∞,﹣1) B. C. D. (3,+∞)

(﹣1,) ﹙,3﹚

考点:一 元二次不等式的解法;交集及其运算. 专题:集 合. 分析:求 出集合B,然后直接求解A∩B. 解答:解 :因为B={x∈R|(x+1)(x﹣3)>0﹜={x|x<﹣1或x>3},

又集合A={x∈R|3x+2>0﹜={x|x所以A∩B={x|x

},

}∩{x|x<﹣1或x>3}={x|x>3},

故选:D. 点评:本 题考查一元二次不等式的解法,交集及其运算,考查计算能力.

2.(5分)(2012•北京)设不等式组

,表示的平面区域为D,在区域D内随机取

一个点,则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( ) A. B. C.

D.

考点:二 元一次不等式(组)与平面区域;几何概型. 专题:概 率与统计. 分析:本 题属于几何概型,利用“测度”求概率,本例的测度即为区域的面积,故只要求出题

中两个区域:由不等式组表示的区域 和到原点的距离大于2的点构成的区域的面积后再求它们的比值即可. 解答: :其构成的区域D如图所示的边长为2的正方形,面积为S1=4, 解

满足到原点的距离大于2所表示的平面区域是以原点为圆心,以2为半径的圆外部,

面积为=4﹣π,

∴在区域D内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离大于2的概率P=故选:D.

点评:本 题考查几何概型,几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积、的比值得到,

本题是通过两个图形的面积之比得到概率的值. 3.(5分)(2012•北京)设a,b∈R.“a=O”是“复数a+bi是纯虚数”的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

考点:复 数的基本概念;必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题:数 系的扩充和复数. 分析:利 用前后两者的因果关系,即可判断充要条件. 解答:解 :因为a,b∈R.“a=O”时“复数a+bi不一定是纯虚数”.

“复数a+bi是纯虚数”则“a=0”一定成立.

所以a,b∈R.“a=O”是“复数a+bi是纯虚数”的必要而不充分条件. 故选B. 点评:本 题考查复数的基本概念,必要条件、充分条件与充要条件的判断,考查基本知识的

掌握程度. 4.(5分)(2012•北京)执行如图所示的程序框图,输出的S值为( )

A. 2

B. 4

C. 8

D. 16

考点:循 环结构. 专题:算 法和程序框图. 分析:列 出循环过程中S与K的数值,不满足判断框的条件即可结束循环. 解答:解 :第1次判断后S=1,k=1,

第2次判断后S=2,k=2, 第3次判断后S=8,k=3,

第4次判断后3<3,不满足判断框的条件,结束循环,输出结果:8. 故选C. 点评:本 题考查循环框图的应用,注意判断框的条件的应用,考查计算能力. 5.(5分)(2012•北京)如图,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,以BD为直径的圆与BC交于点E.则( )

CE•CB=AD•DB B. CE•CB=AD•AB C. A. D. AD•AB=CD2 CE•EB=CD2

考点:与 圆有关的比例线段. 专题:直 线与圆. 分析:连 接DE,以BD为直径的圆与BC交于点E,DE⊥BE,由∠ACB=90°,CD⊥AB于

点D,△ACD∽△CBD,由此利用三角形相似和切割线定理,能够推导出CE•CB=AD•BD. 解答:解 :连接DE,

∵以BD为直径的圆与BC交于点E, ∴DE⊥BE,

∵∠ACB=90°,CD⊥AB于点D, ∴△ACD∽△CBD,

∴,

∴CD2=AD•BD. ∵CD2=CE•CB, ∴CE•CB=AD•BD, 故选A.

点评:本 题考查与圆有关的比例线段的应用,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答,注

意三角形相似和切割线定理的灵活运用.

6.(5分)(2012•北京)从0、2中选一个数字.从1、3、5中选两个数字,组成无重复数字的三位数.其中奇数的个数为( ) A. 24 B. 18 C. 12 D. 6

考点:计 数原理的应用. 专题:算 法和程序框图. 分析:分 类讨论:从0、2中选一个数字0,则0只能排在十位;从0、2中选一个数字2,

则2排在十位或百位,由此可得结论. 解答:解 :从0、2中选一个数字0,则0只能排在十位,从1、3、5中选两个数字排在个位

与百位,共有=6种;

从0、2中选一个数字2,则2排在十位,从1、3、5中选两个数字排在个位与百位,共有

=6种;

=6种;

2排在百位,从1、3、5中选两个数字排在个位与十位,共有故共有3

=18种

故选B. 点评:本 题考查计数原理的运用,考查分类讨论的数学思想,正确分类是关键. 7.(5分)(2012•北京)某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是( )

A. C. D. 28+6 56+12 60+12

考点:由 三视图求面积、体积. 专题:立 体几何. 分析:通 过三视图复原的几何体的形状,利用三视图的数据求出几何体的表面积即可. 解答:解 :三视图复原的几何体是底面为直角边长为4和5的三角形,

一个侧面垂直底面的等腰三角形,高为4,底边长为5,如图,

B. 30+6

所以S底=S后=

=10, ,

S右=S左=

=10,

=6

. .

几何体的表面积为:S=S底+S后+S右+S左=30+6故选:B.

点评:本 题考查三视图与几何体的关系,注意表面积的求法,考查空间想象能力计算能力. 8.(5分)(2012•北京)某棵果树前n年的总产量Sn与n之间的关系如图所示.从目前记录的结果看,前m年的年平均产量最高,则m的值为( )

A. 5 B. 7 C. 9 D. 11

考点:函 数的图象与图象变化;函数的表示方法. 专题:函 数的性质及应用. 分析:由 已知中图象表示某棵果树前n年的总产量S与n之间的关系,可分析出平均产量的

几何意义为原点与该点边线的斜率,结合图象可得答案. 解答:解 :若果树前n年的总产量S与n在图中对应P(S,n)点

则前n年的年平均产量即为直线OP的斜率 由图易得当n=9时,直线OP的斜率最大 即前9年的年平均产量最高, 故选C 点评:本 题以函数的图象与图象变化为载体考查了斜率的几何意义,其中正确分析出平均产

量的几何意义是解答本题的关键.

二.填空题共6小题.每小题5分.共30分.

9.(5分)(2012•北京)直线(t为参数)与曲线 (α为参数)的

交点个数为 2 .

考点:圆 的参数方程;直线与圆的位置关系;直线的参数方程. 专题:直 线与圆. 分析:将 参数方程化为普通方程,利用圆心到直线的距离与半径比较,即可得到结论. 解答:

解:直线(t为参数)化为普通方程为x+y﹣1=0

曲线

(α为参数)化为普通方程为x2+y2=9

∵圆心(0,0)到直线x+y﹣1=0的距离为d=

∴直线与圆有两个交点 故答案为:2 点评:本 题考查参数方程与普通方程的互化,考查直线与圆的位置关系,属于基础题.

10.(5分)(2012•北京)已知﹛an﹜是等差数列,sn为其前n项和.若a1=,s2=a3,则a2= 1 .

考点:等 差数列的前n项和;等差数列的通项公式. 专题:等 差数列与等比数列. 分析:

由﹛an﹜是等差数列,a1=,S2=a3,知=

,解得d=,由此能求出a2.

解答:

解:∵﹛an﹜是等差数列,a1=,S2=a3,

=

解得d=, a2=

=1.

故答案为:1. 点评:本 题考查等差数列的性质和应用,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答.

11.(5分)(2012•北京)在△ABC中,若a=2,b+c=7,cosB=﹣,则b= 4 .

考点:解 三角形. 专题:解 三角形.

分析:

根据a=2,b+c=7,cosB=﹣,利用余弦定理可得

,即可求得b的值.

解答:

解:由题意,∵a=2,b+c=7,cosB=﹣,

∴∴b=4

故答案为:4 点评:本 题考查余弦定理的运用,解题的关键是构建关于b的方程,属于基础题.

12.(5分)(2012•北京)在直角坐标系xOy中.直线l过抛物线y2=4x的焦点F.且与该抛物线相交于A、B两点.其中点A在x轴上方.若直线l的倾斜角为60°.则△OAF的面积为 .

考点:直 线与圆锥曲线的综合问题;直线的倾斜角;抛物线的简单性质. 专题:圆 锥曲线的定义、性质与方程. 分析:确 定直线l的方程,代入抛物线方程,确定A的坐标,从而可求△OAF的面积. 解答: :抛物线y2=4x的焦点F的坐标为(1,0) 解

∵直线l过F,倾斜角为60°

∴直线l的方程为:代入抛物线方程,化简可得∴y=2

,或y=﹣

,即

∵A在x轴上方 ∴△OAF的面积为

=

故答案为: 点评:本 题考查抛物线的性质,考查直线与抛物线的位置关系,确定A的坐标是解题的关键.

13.(5分)(2012•北京)己知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点.则的值为 1 .

考点:平 面向量数量积的运算. 专题:平 面向量及应用. 分析:直 接利用向量转化,求出数量积即可. 解答:

解:因为==

==1.

故答案为:1

点评:本 题考查平面向量数量积的应用,考查计算能力. 14.(5分)(2012•北京)已知f(x)=m(x﹣2m)(x+m+3),g(x)=2x﹣2,若同时满足条件:

①∀x∈R,f(x)<0或g(x)<0; ②∃x∈(﹣∞,﹣4),f(x)g(x)<0. 则m的取值范围是 (﹣4,﹣2) .

考点:全 称命题;二次函数的性质;指数函数综合题. 专题:简 易逻辑. 分析: 由于g(x)=2x﹣2≥0时,x≥1,根据题意有f(x)=m(x﹣2m)①(x+m+3)<0在

x>1时成立,根据二次函数的性质可求 ②由于x∈(﹣∞,﹣4),f(x)g(x)<0,而g(x)=2x﹣2<0,则f(x)=m(x﹣2m)(x+m+3)>0在x∈(﹣∞,﹣4)时成立,结合二次函数的性质可求 解答: :对于①∵g(x)=2x﹣2,当x<1时,g(x)<0, 解

又∵①∀x∈R,f(x)<0或g(x)<0 ∴f(x)=m(x﹣2m)(x+m+3)<0在x≥1时恒成立

则由二次函数的性质可知开口只能向下,且二次函数与x轴交点都在(1,0)的左面

∴﹣4<m<0即①成立的范围为﹣4<m<0 又∵②x∈(﹣∞,﹣4),f(x)g(x)<0 ∴此时g(x)=2x﹣2<0恒成立 ∴f(x)=m(x﹣2m)(x+m+3)>0在x∈(﹣∞,﹣4)有成立的可能,则只要﹣4比x1,x2中的较小的根大即可,

(i)当﹣1<m<0时,较小的根为﹣m﹣3,﹣m﹣3<﹣4不成立, (ii)当m=﹣1时,两个根同为﹣2>﹣4,不成立,

(iii)当﹣4<m<﹣1时,较小的根为2m,2m<﹣4即m<﹣2成立. 综上可得①②成立时﹣4<m<﹣2. 故答案为:(﹣4,﹣2).

点评:本 题主要考查了全称命题与特称命题的成立,指数函数与二次函数性质的应用是解答

本题的关键.

三、解答题公6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.(13分)(2012•北京)已知函数f(x)=

(1)求f(x)的定义域及最小正周期; (2)求f(x)的单调递增区间.

考三角函数中的恒等变换应用;三角函数的周期性及其求法;复合三角函数的单调性. 点:

专三角函数的图像与性质. 题:

分通过二倍角与两角差的正弦函数,化简函数的表达式,(1)直接求出函数的定义域和最小正周析:期.

(2)利用正弦函数的单调增区间,结合函数的定义域求出函数的单调增区间即可. 解解:答:

=sin2x﹣1﹣cos2x=sin(2x﹣)﹣1 k∈Z,{x|x≠kπ,k∈Z}

(1)原函数的定义域为{x|x≠kπ,k∈Z},最小正周期为π. (2)由解得

原函数的单调递增区间为

,k∈Z,

,k∈Z,又{x|x≠kπ,k∈Z},

,k∈Z,

,k∈Z

点本题考查三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法,复合三角函数的单调性,评:注意函数的定义域在单调增区间的应用,考查计算能力. 16.(14分)(2012•北京)如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=6,D,E分别是AC,AB上的点,且DE∥BC,DE=2,将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1C⊥CD,如图2.

(1)求证:A1C⊥平面BCDE;

(2)若M是A1D的中点,求CM与平面A1BE所成角的大小;

(3)线段BC上是否存在点P,使平面A1DP与平面A1BE垂直?说明理由.

考点:向 量语言表述面面的垂直、平行关系;直线与平面垂直的判定;用空间向量求直线与

平面的夹角. 专题:空 间位置关系与距离. 分析: 1)证明A1C⊥平面BCDE,因为A1C⊥CD,只需证明A1C⊥DE,即证明DE⊥平(

面A1CD;

(2)建立空间直角坐标系,用坐标表示点与向量,求出平面A1BE法向量

,=(﹣1,0,),利用向量的夹角公式,即可求得CM

与平面A1BE所成角的大小;

(3)设线段BC上存在点P,设P点坐标为(0,a,0),则a∈[0,3],求出平面A1DP法向量为

,可求得0≤a≤3,从而可得结论.

假设平面A1DP与平面A1BE垂直,则

解答: 1)证明:∵CD⊥DE,A1D⊥DE,CD∩A1D=D, (

∴DE⊥平面A1CD,

又∵A1C⊂平面A1CD,∴A1C⊥DE 又A1C⊥CD,CD∩DE=D ∴A1C⊥平面BCDE

(2)解:如图建系,则C(0,0,0),D(﹣2,0,0),A1(0,0,23,0),E(﹣2,2,0)

设平面A1BE法向量为

),B(0,

则∴∴

又∵M(﹣1,0,

),∴

=(﹣1,0,

∴CM与平面A1BE所成角的大小45°

(3)解:设线段BC上存在点P,设P点坐标为(0,a,0),则a∈[0,3] ∴

设平面A1DP法向量为

则∴

假设平面A1DP与平面A1BE垂直,则∴3a+12+3a=0,6a=﹣12,a=﹣2 ∵0≤a≤3

∴不存在线段BC上存在点P,使平面A1DP与平面A1BE垂直

点评:本 题考查线面垂直,考查线面角,考查面面垂直,既有传统方法,又有向量知识的运

用,要加以体会. 17.(13分)(2012•北京)近年来,某市为促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类,并分别设置了相应的垃圾箱,为调查居民生活垃圾分类投放情况,先随机抽取了该市三类垃圾箱总计1000吨生活垃圾,数据统计如下(单位:吨); “厨余垃圾”箱 “可回收物”箱 “其他垃圾”箱 厨余垃圾 400 100 100 可回收物 30 240 30 其他垃圾 20 20 60 (1)试估计厨余垃圾投放正确的概率; (2)试估计生活垃圾投放错误的概率;

(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a,b,c,其中a>0,a+b+c=600.当数据a,b,c的方差s2最大时,写出a,b,c的值(结论不要求证明),并求此时s2的值.

(求:S2=[

++…+],其中为数据x1,x2,…,

xn的平均数)

考模拟方法估计概率;极差、方差与标准差. 点:

专概率与统计. 题:

分(1)厨余垃圾600吨,投放到“厨余垃圾”箱400吨,故可求厨余垃圾投放正确的概率; 析:( 2)生活垃圾投放错误有200+60+20+20=300,故可求生活垃圾投放错误的概率;

(3)计算方差可得

=,因

此有当a=600,b=0,c=0时,有s2=80000. 解解:(1)由题意可知:厨余垃圾600吨,投放到“厨余垃圾”箱400吨,故厨余垃圾投放正确的答:

概率为;

(2)由题意可知:生活垃圾投放错误有200+60+20+20=300,故生活垃圾投放错误的概率为

(3)由题意可知:∵a+b+c=600,∴a,b,c的平均数为200 ∴

=

∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac≥a2+b2+c2,因此有当a=600,b=0,c=0时,有s2=80000. 点本题考查概率知识的运用,考查学生的阅读能力,属于中档题. 评: 18.(13分)(2012•北京)已知函数f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx

(1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求a、b的值;

(2)当a2=4b时,求函数f(x)+g(x)的单调区间,并求其在区间(﹣∞,﹣1)上的最大值.

考点:利 用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上

某点切线方程. 专题:导 数的概念及应用. 分析:( 1)根据曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,可

知切点处的函数值相等,切点处的斜率相等,故可求a、b的值;

(2)根据a2=4b,构建函数

,求导函

数,利用导数的正负,可确定函数的单调区间,进而分类讨论,确定函数在区间(﹣∞,﹣1)上的最大值. 解答: :解(1)f(x)=ax2+1(a>0),则f'(x)=2ax,k1=2a,g(x)=x3+bx,则g′(x)

=3x2+b,k2=3+b,

由(1,c)为公共切点,可得:2a=3+b ① 又f(1)=a+1,g(1)=1+b, ∴a+1=1+b,即a=b,代入①式可得:(2)由题设a2=4b,设则∵a>0,∴ x

(﹣∞,﹣)

h′(x) h(x)

+

极大值

极小值

+

,令h'(x)=0,解得:

∴原函数在(﹣∞,﹣)单调递增,在上单调递增 ①若②若

,即0<a≤2时,最大值为<﹣,即2<a<6时,最大值为

单调递减,在

③若﹣1≥﹣时,即a≥6时,最大值为h(﹣)=1 综上所述:当a∈(0,2]时,最大值为值为

;当a∈(2,+∞)时,最大

点评:本 题考查导数知识的运用,考查导数的几何意义,考查函数的单调性与最值,解题的关键是正确求出导函数. 19.(14分)(2012•北京)已知曲线C:(5﹣m)x2+(m﹣2)y2=8(m∈R) (1)若曲线C是焦点在x轴点上的椭圆,求m的取值范围;

(2)设m=4,曲线c与y轴的交点为A,B(点A位于点B的上方),直线y=kx+4与曲线c交于不同的两点M、N,直线y=1与直线BM交于点G.求证:A,G,N三点共线.

考点:直 线与圆锥曲线的综合问题;向量在几何中的应用;椭圆的标准方程. 专题:综 合题;压轴题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:( 1)原曲线方程,化为标准方程,利用曲线C是焦点在x轴点上的椭圆可得不等式

组,即可求得m的取值范围;

(2)由已知直线代入椭圆方程化简得:(2k2+1)x2+16kx+24=0,△=32(2k2﹣3),

解得:

,设N(xN,kxN+4),M(xM,kxM+4),G(xG,1),MB方程为:

,则,从而可得

,=(xN,

kxN+2),欲证A,G,N三点共线,只需证解答:

(1)解:原曲线方程可化简得:

,共线,利用韦达定理,可以证明.

由题意,曲线C是焦点在x轴点上的椭圆可得:,解得:

(2)证明:由已知直线代入椭圆方程化简得:(2k2+1)x2+16kx+24=0,△=32(2k2﹣3)>0,解得:由韦达定理得:

①,

,②

设N(xN,kxN+4),M(xM,kxM+4),G(xG,1),MB方程为:,

则,

∴,=(xN,kxN+2),

欲证A,G,N三点共线,只需证即

,共线

成立,化简得:(3k+k)xMxN=﹣6(xM+xN)

将①②代入可得等式成立,则A,G,N三点共线得证.

点评:本 题考查椭圆的标准方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查三点共线,解题的关键

是直线与椭圆方程联立,利用韦达定理进行求解. 20.(13分)(2012•北京)设A是由m×n个实数组成的m行n列的数表,满足:每个数的绝对值不大于1,且所有数的和为零,记s(m,n)为所有这样的数表构成的集合.对于A∈S(m,n),记r(为A的第ⅰ行各数之和(1≤ⅰ≤m),C(为A的第j列各数之和(1≤j≤n);iA)jA)

记K(A)为|r1(A)|,|R2(A)|,…,|Rm(A)|,|C1(A)|,|C2(A)|,…,|Cn(A)|中的最小值.

(1)如表A,求K(A)的值;

1 1 ﹣0.8 0.1 ﹣0.3 ﹣1 (2)设数表A∈S(2,3)形如 1 1 c a b ﹣1 求K(A)的最大值;

(3)给定正整数t,对于所有的A∈S(2,2t+1),求K(A)的最大值.

考点:进 行简单的演绎推理;进行简单的合情推理. 专题:压 轴题;新定义;推理和证明. 分析: 1)根据ri(A)(,Cj(A),定义求出r1(A),r2(A),c1(A),c2(A),c3(A),

再根据K(A)为|r1(A)|,|R2(A)|,|R3(A)|,|C1(A)|,|C2(A)|,|C3(A)|中的最小值,即可求出所求.

(2)先用反证法证明k(A)≤1,然后证明k(A)=1存在即可;

(3)首先构造满足明

是最大值即可.

的A={ai,j}(i=1,2,j=1,2,…,2t+1),然后证

解答: :解(1)由题意可知r1(A)=1.2,r2(A)=﹣1.2,c1(A)=1.1,c2(A)=0.7,c3

(A)=﹣1.8 ∴K(A)=0.7

(2)先用反证法证明k(A)≤1: 若k(A)>1

则|c1(A)|=|a+1|=a+1>1,∴a>0 同理可知b>0,∴a+b>0 由题目所有数和为0 即a+b+c=﹣1

∴c=﹣1﹣a﹣b<﹣1 与题目条件矛盾 ∴k(A)≤1.

易知当a=b=0时,k(A)=1存在 ∴k(A)的最大值为1

(3)k(A)的最大值为首先构造满足

的A={ai,j}(i=1,2,j=1,2,…,2t+1):

经计算知,A中每个元素的绝对值都小于1,所有元素之和为0,且

下面证明

是最大值.若不然,则存在一个数表A∈S(2,2t+1),使得

由k(A)的定义知A的每一列两个数之和的绝对值都不小于x,而两个绝对值不超

过1的数的和,其绝对值不超过2,故A的每一列两个数之和的绝对值都在区间[x,2]中.由于x>1,故A的每一列两个数符号均与列和的符号相同,且绝对值均不小于x﹣1.

设A中有g列的列和为正,有h列的列和为负,由对称性不妨设g<h,则g≤t,h≥t+1.另外,由对称性不妨设A的第一行行和为正,第二行行和为负.

考虑A的第一行,由前面结论知A的第一行有不超过t个正数和不少于t+1个负数,每个正数的绝对值不超过1(即每个正数均不超过1),每个负数的绝对值不小于x﹣1(即每个负数均不超过1﹣x).因此|r1(A)|=r1(A)≤t•1+(t+1)(1﹣x)=2t+1﹣(t+1)x=x+(2t+1﹣(t+2)x)<x,

故A的第一行行和的绝对值小于x,与假设矛盾.因此k(A)的最大值为

点评:本 题主要考查了进行简单的演绎推理,以及新定义的理解和反证法的应用,同时考查

了分析问题的能力,属于难题.

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