2012年北京高考理科数学试题及答案

数学（理科）

本试卷共5页. 150分.考试时长120分钟.考试生务必将答案答在答题卡上.在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第一部分(选择题共40分)

一、选择题共8小题。每小题5分.共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合胜目要求的一项.

1．已知集合A={x∈R|3x+2＞0} B={x∈R|（x+1）(x-3)＞0} 则A∩B= A （-，-1）B （-1，-

2．设不等式组22） C （-,3）D (3,+) 330x2,，表示平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标

0y2原点的距离大于2的概率是 （A）

24 （B） （C） （D）

24463．设a，b∈R。“a=0”是“复数a+bi是纯虚数”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

4．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ）A. 2 B .4 C.8 D. 16

5.如图. ∠ACB=90º，CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E.则( ) CE•CB=AD•DB B． CE•CB=AD•AB C． A． AD•AB=CD2

D． CE•EB=CD2

6.从0，2中选一个数字.从1.3.5中选两个数字,组成无重复数字的三位数.其中奇数的个数为( )

A. 24 B. 18 C. 12 D. 6

7.某三棱锥的三视图如图所示，该三梭锥的表面积是（ ）

A. 28+65 B. 30+65 C. 56+ 125 D. 60+125

8.某棵果树前n前的总产量S与n之间的关系如图所示.从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高。m值为（ ） A.5 B.7 C.9 D.11

第二部分(非选择题共110分)

二.填空题共6小题。每小题5分。共30分.

x2tx3cos9．直线(t为参数)与曲线(为参数)的交点个数为______。

y1ty3sin10．已知{an}等差数列Sn为其前n项和。若a111．在△ABC中，若a=2，b+c=7，cosB=1，S2a3，则a2=_______。 21，则b=_______。 412．在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线=4x的焦点F.且与该撇物线相交于A、B两点.其中点A在x轴上方。若直线l的倾斜角为60º.则△OAF的面积为 13．已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DECB的值为________，

DEDC的最大值为______。

14.已知f(x)m(x2m)(xm3)，g(x)22，若同时满足条件： ①xR，f(x)0或g(x)0； ②x(,4), f(x)g(x)0。 则m的取值范围是_______。

三、解答题公6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 15．（本小题共13分） 已知函数f(x)x(sinxcosx)sin2x。

sinx（1）求f(x)的定义域及最小正周期； （2）求f(x)的单调递增区间。

16．（本小题共14分）

如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE=2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD,如图2. (I)求证：A1C⊥平面BCDE；

(II)若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；

(III)线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由

17．（本小题共13分）

近年来，某市为了促进生活垃圾的风分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应分垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了

该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）： 厨余垃圾 可回收物 其他垃圾

“厨余垃圾”箱 “可回收物”箱 “其他垃圾”箱 400 30 20

100 240 20

100 30 60

（Ⅰ）试估计厨余垃圾投放正确的概率； （Ⅱ）试估计生活垃圾投放错误额概率；

（Ⅲ）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a,b,c其中a＞0，abc=600。当数据a,b,c的方差s最大时，写出a,b,c的值（结论不要求证明），并求此时s的值。 （注：s

18．（本小题共13分）

2已知函数f(x)ax1a0，g(x)xbx.

32221 [(x1x)2(x2x)2(xnx)2]，其中x为数据x1,x2,,xn的平均数）

n（1）若曲线yf(x)与曲线yg(x)在它们的交点1,c处具有公共切线，求a，b的值； （2）当a24b时，求函数f(x)g(x)的单调区间，并求其在区间,1上的最大值.

19．（本小题共14分）

已知曲线C:5mxm2y8mR.

22（1）若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，求m的取值范围；

（2）设m4，曲线C与y轴的交点为A，B（点A位于点B的上方），直线ykx4与

曲线C交于不同的两点M，N，直线y1与直线BM交于点G，求证：A，G，N 三点共线.

20．（本小题共13分）

设A是由mn个实数组成的m行n列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零. 记Sm,n为所有这样的数表组成的集合. 对于ASm,n，记ri(A)为A的第i行各数之和（1i，cj(A)为A的第j列各数之和（1m）

j；记k(A)为n）

r1(A)，r2(A)，…，rm(A)，c1(A)，c2(A)，…，cn(A)中的最小值.

（1）对如下数表A，求k(A)的值； 1 0.1 1 0.3 0.8 1 （2）设数表AS2,3形如 1 a 1 b c 1

求k(A)的最大值；

（3）给定正整数t，对于所有的AS2,2t1，求k(A)的最大值.

2012年北京市高考数学试卷（理科）

参与试题解析

一、选择题共8小题．每小题5分.共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合胜目要求的一项. 1．（5分）（2012•北京）已知集合A={x∈R|3x+2＞0}，B={x∈R|（x+1）（x﹣3）＞0}，则A∩B=（ ） A． （﹣∞，﹣1） B． C． D． （3，+∞）

（﹣1，） ﹙，3﹚

考点：一 元二次不等式的解法；交集及其运算． 专题：集 合． 分析：求 出集合B，然后直接求解A∩B． 解答：解 ：因为B={x∈R|（x+1）（x﹣3）＞0﹜={x|x＜﹣1或x＞3}，

又集合A={x∈R|3x+2＞0﹜={x|x所以A∩B={x|x

}，

}∩{x|x＜﹣1或x＞3}={x|x＞3}，

故选：D． 点评：本 题考查一元二次不等式的解法，交集及其运算，考查计算能力．

2．（5分）（2012•北京）设不等式组

，表示的平面区域为D，在区域D内随机取

一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（ ） A． B． C．

D．

考点：二 元一次不等式（组）与平面区域；几何概型． 专题：概 率与统计． 分析：本 题属于几何概型，利用“测度”求概率，本例的测度即为区域的面积，故只要求出题

中两个区域：由不等式组表示的区域 和到原点的距离大于2的点构成的区域的面积后再求它们的比值即可． 解答： ：其构成的区域D如图所示的边长为2的正方形，面积为S1=4， 解

满足到原点的距离大于2所表示的平面区域是以原点为圆心，以2为半径的圆外部，

面积为=4﹣π，

∴在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率P=故选：D．

点评：本 题考查几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积、的比值得到，

本题是通过两个图形的面积之比得到概率的值． 3．（5分）（2012•北京）设a，b∈R．“a=O”是“复数a+bi是纯虚数”的（ ） A． 充分而不必要条件 B． 必要而不充分条件 C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件

考点：复 数的基本概念；必要条件、充分条件与充要条件的判断． 专题：数 系的扩充和复数． 分析：利 用前后两者的因果关系，即可判断充要条件． 解答：解 ：因为a，b∈R．“a=O”时“复数a+bi不一定是纯虚数”．

“复数a+bi是纯虚数”则“a=0”一定成立．

所以a，b∈R．“a=O”是“复数a+bi是纯虚数”的必要而不充分条件． 故选B． 点评：本 题考查复数的基本概念，必要条件、充分条件与充要条件的判断，考查基本知识的

掌握程度． 4．（5分）（2012•北京）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ）

A． 2

B． 4

C． 8

D． 16

考点：循 环结构． 专题：算 法和程序框图． 分析：列 出循环过程中S与K的数值，不满足判断框的条件即可结束循环． 解答：解 ：第1次判断后S=1，k=1，

第2次判断后S=2，k=2， 第3次判断后S=8，k=3，

第4次判断后3＜3，不满足判断框的条件，结束循环，输出结果：8． 故选C． 点评：本 题考查循环框图的应用，注意判断框的条件的应用，考查计算能力． 5．（5分）（2012•北京）如图，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E．则（ ）

CE•CB=AD•DB B． CE•CB=AD•AB C． A． D． AD•AB=CD2 CE•EB=CD2

考点：与 圆有关的比例线段． 专题：直 线与圆． 分析：连 接DE，以BD为直径的圆与BC交于点E，DE⊥BE，由∠ACB=90°，CD⊥AB于

点D，△ACD∽△CBD，由此利用三角形相似和切割线定理，能够推导出CE•CB=AD•BD． 解答：解 ：连接DE，

∵以BD为直径的圆与BC交于点E， ∴DE⊥BE，

∵∠ACB=90°，CD⊥AB于点D， ∴△ACD∽△CBD，

∴，

∴CD2=AD•BD． ∵CD2=CE•CB， ∴CE•CB=AD•BD， 故选A．

点评：本 题考查与圆有关的比例线段的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注

意三角形相似和切割线定理的灵活运用．

6．（5分）（2012•北京）从0、2中选一个数字．从1、3、5中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中奇数的个数为（ ） A． 24 B． 18 C． 12 D． 6

考点：计 数原理的应用． 专题：算 法和程序框图． 分析：分 类讨论：从0、2中选一个数字0，则0只能排在十位；从0、2中选一个数字2，

则2排在十位或百位，由此可得结论． 解答：解 ：从0、2中选一个数字0，则0只能排在十位，从1、3、5中选两个数字排在个位

与百位，共有=6种；

从0、2中选一个数字2，则2排在十位，从1、3、5中选两个数字排在个位与百位，共有

=6种；

=6种；

2排在百位，从1、3、5中选两个数字排在个位与十位，共有故共有3

=18种

故选B． 点评：本 题考查计数原理的运用，考查分类讨论的数学思想，正确分类是关键． 7．（5分）（2012•北京）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（ ）

A． C． D． 28+6 56+12 60+12

考点：由 三视图求面积、体积． 专题：立 体几何． 分析：通 过三视图复原的几何体的形状，利用三视图的数据求出几何体的表面积即可． 解答：解 ：三视图复原的几何体是底面为直角边长为4和5的三角形，

一个侧面垂直底面的等腰三角形，高为4，底边长为5，如图，

B． 30+6

所以S底=S后=

=10， ，

S右=S左=

=10，

=6

． ．

几何体的表面积为：S=S底+S后+S右+S左=30+6故选：B．

点评：本 题考查三视图与几何体的关系，注意表面积的求法，考查空间想象能力计算能力． 8．（5分）（2012•北京）某棵果树前n年的总产量Sn与n之间的关系如图所示．从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高，则m的值为（ ）

A． 5 B． 7 C． 9 D． 11

考点：函 数的图象与图象变化；函数的表示方法． 专题：函 数的性质及应用． 分析：由 已知中图象表示某棵果树前n年的总产量S与n之间的关系，可分析出平均产量的

几何意义为原点与该点边线的斜率，结合图象可得答案． 解答：解 ：若果树前n年的总产量S与n在图中对应P（S，n）点

则前n年的年平均产量即为直线OP的斜率 由图易得当n=9时，直线OP的斜率最大 即前9年的年平均产量最高， 故选C 点评：本 题以函数的图象与图象变化为载体考查了斜率的几何意义，其中正确分析出平均产

量的几何意义是解答本题的关键．

二.填空题共6小题．每小题5分．共30分.

9．（5分）（2012•北京）直线（t为参数）与曲线 （α为参数）的

交点个数为 2 ．

考点：圆 的参数方程；直线与圆的位置关系；直线的参数方程． 专题：直 线与圆． 分析：将 参数方程化为普通方程，利用圆心到直线的距离与半径比较，即可得到结论． 解答：

解：直线（t为参数）化为普通方程为x+y﹣1=0

曲线

（α为参数）化为普通方程为x2+y2=9

∵圆心（0，0）到直线x+y﹣1=0的距离为d=

∴直线与圆有两个交点 故答案为：2 点评：本 题考查参数方程与普通方程的互化，考查直线与圆的位置关系，属于基础题．

10．（5分）（2012•北京）已知﹛an﹜是等差数列，sn为其前n项和．若a1=，s2=a3，则a2= 1 ．

考点：等 差数列的前n项和；等差数列的通项公式． 专题：等 差数列与等比数列． 分析：

由﹛an﹜是等差数列，a1=，S2=a3，知=

，解得d=，由此能求出a2．

解答：

解：∵﹛an﹜是等差数列，a1=，S2=a3，

∴

=

，

解得d=， a2=

=1．

故答案为：1． 点评：本 题考查等差数列的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．

11．（5分）（2012•北京）在△ABC中，若a=2，b+c=7，cosB=﹣，则b= 4 ．

考点：解 三角形． 专题：解 三角形．

分析：

根据a=2，b+c=7，cosB=﹣，利用余弦定理可得

，即可求得b的值．

解答：

解：由题意，∵a=2，b+c=7，cosB=﹣，

∴∴b=4

故答案为：4 点评：本 题考查余弦定理的运用，解题的关键是构建关于b的方程，属于基础题．

12．（5分）（2012•北京）在直角坐标系xOy中．直线l过抛物线y2=4x的焦点F．且与该抛物线相交于A、B两点．其中点A在x轴上方．若直线l的倾斜角为60°．则△OAF的面积为 ．

考点：直 线与圆锥曲线的综合问题；直线的倾斜角；抛物线的简单性质． 专题：圆 锥曲线的定义、性质与方程． 分析：确 定直线l的方程，代入抛物线方程，确定A的坐标，从而可求△OAF的面积． 解答： ：抛物线y2=4x的焦点F的坐标为（1，0） 解

∵直线l过F，倾斜角为60°

∴直线l的方程为：代入抛物线方程，化简可得∴y=2

，或y=﹣

，即

∵A在x轴上方 ∴△OAF的面积为

=

故答案为： 点评：本 题考查抛物线的性质，考查直线与抛物线的位置关系，确定A的坐标是解题的关键．

13．（5分）（2012•北京）己知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点．则的值为 1 ．

考点：平 面向量数量积的运算． 专题：平 面向量及应用． 分析：直 接利用向量转化，求出数量积即可． 解答：

解：因为==

==1．

故答案为：1

点评：本 题考查平面向量数量积的应用，考查计算能力． 14．（5分）（2012•北京）已知f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3），g（x）=2x﹣2，若同时满足条件：

①∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0； ②∃x∈（﹣∞，﹣4），f（x）g（x）＜0． 则m的取值范围是 （﹣4，﹣2） ．

考点：全 称命题；二次函数的性质；指数函数综合题． 专题：简 易逻辑． 分析： 由于g（x）=2x﹣2≥0时，x≥1，根据题意有f（x）=m（x﹣2m）①（x+m+3）＜0在

x＞1时成立，根据二次函数的性质可求 ②由于x∈（﹣∞，﹣4），f（x）g（x）＜0，而g（x）=2x﹣2＜0，则f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3）＞0在x∈（﹣∞，﹣4）时成立，结合二次函数的性质可求 解答： ：对于①∵g（x）=2x﹣2，当x＜1时，g（x）＜0， 解

又∵①∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0 ∴f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3）＜0在x≥1时恒成立

则由二次函数的性质可知开口只能向下，且二次函数与x轴交点都在（1，0）的左面

则

∴﹣4＜m＜0即①成立的范围为﹣4＜m＜0 又∵②x∈（﹣∞，﹣4），f（x）g（x）＜0 ∴此时g（x）=2x﹣2＜0恒成立 ∴f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3）＞0在x∈（﹣∞，﹣4）有成立的可能，则只要﹣4比x1，x2中的较小的根大即可，

（i）当﹣1＜m＜0时，较小的根为﹣m﹣3，﹣m﹣3＜﹣4不成立， （ii）当m=﹣1时，两个根同为﹣2＞﹣4，不成立，

（iii）当﹣4＜m＜﹣1时，较小的根为2m，2m＜﹣4即m＜﹣2成立． 综上可得①②成立时﹣4＜m＜﹣2． 故答案为：（﹣4，﹣2）．

点评：本 题主要考查了全称命题与特称命题的成立，指数函数与二次函数性质的应用是解答

本题的关键．

三、解答题公6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（13分）（2012•北京）已知函数f（x）=

．

（1）求f（x）的定义域及最小正周期； （2）求f（x）的单调递增区间．

考三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；复合三角函数的单调性． 点：

专三角函数的图像与性质． 题：

分通过二倍角与两角差的正弦函数，化简函数的表达式，（1）直接求出函数的定义域和最小正周析：期．

（2）利用正弦函数的单调增区间，结合函数的定义域求出函数的单调增区间即可． 解解：答：

=sin2x﹣1﹣cos2x=sin（2x﹣）﹣1 k∈Z，{x|x≠kπ，k∈Z}

（1）原函数的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，最小正周期为π． （2）由解得

原函数的单调递增区间为

，k∈Z，

，k∈Z，又{x|x≠kπ，k∈Z}，

，k∈Z，

，k∈Z

点本题考查三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，复合三角函数的单调性，评：注意函数的定义域在单调增区间的应用，考查计算能力． 16．（14分）（2012•北京）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE=2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如图2．

（1）求证：A1C⊥平面BCDE；

（2）若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；

（3）线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由．

考点：向 量语言表述面面的垂直、平行关系；直线与平面垂直的判定；用空间向量求直线与

平面的夹角． 专题：空 间位置关系与距离． 分析： 1）证明A1C⊥平面BCDE，因为A1C⊥CD，只需证明A1C⊥DE，即证明DE⊥平（

面A1CD；

（2）建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出平面A1BE法向量

，=（﹣1，0，），利用向量的夹角公式，即可求得CM

与平面A1BE所成角的大小；

（3）设线段BC上存在点P，设P点坐标为（0，a，0），则a∈[0，3]，求出平面A1DP法向量为

，可求得0≤a≤3，从而可得结论．

假设平面A1DP与平面A1BE垂直，则

解答： 1）证明：∵CD⊥DE，A1D⊥DE，CD∩A1D=D， （

∴DE⊥平面A1CD，

又∵A1C⊂平面A1CD，∴A1C⊥DE 又A1C⊥CD，CD∩DE=D ∴A1C⊥平面BCDE

（2）解：如图建系，则C（0，0，0），D（﹣2，0，0），A1（0，0，23，0），E（﹣2，2，0）

∴

设平面A1BE法向量为

，

），B（0，

则∴∴

∴

又∵M（﹣1，0，

），∴

=（﹣1，0，

）

∴

∴CM与平面A1BE所成角的大小45°

（3）解：设线段BC上存在点P，设P点坐标为（0，a，0），则a∈[0，3] ∴

设平面A1DP法向量为

，

则∴

∴

，

假设平面A1DP与平面A1BE垂直，则∴3a+12+3a=0，6a=﹣12，a=﹣2 ∵0≤a≤3

∴不存在线段BC上存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直

点评：本 题考查线面垂直，考查线面角，考查面面垂直，既有传统方法，又有向量知识的运

用，要加以体会． 17．（13分）（2012•北京）近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，先随机抽取了该市三类垃圾箱总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）； “厨余垃圾”箱 “可回收物”箱 “其他垃圾”箱 厨余垃圾 400 100 100 可回收物 30 240 30 其他垃圾 20 20 60 （1）试估计厨余垃圾投放正确的概率； （2）试估计生活垃圾投放错误的概率；

（3）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a，b，c，其中a＞0，a+b+c=600．当数据a，b，c的方差s2最大时，写出a，b，c的值（结论不要求证明），并求此时s2的值．

（求：S2=[

++…+]，其中为数据x1，x2，…，

xn的平均数）

考模拟方法估计概率；极差、方差与标准差． 点：

专概率与统计． 题：

分（1）厨余垃圾600吨，投放到“厨余垃圾”箱400吨，故可求厨余垃圾投放正确的概率； 析：（ 2）生活垃圾投放错误有200+60+20+20=300，故可求生活垃圾投放错误的概率；

（3）计算方差可得

=，因

此有当a=600，b=0，c=0时，有s2=80000． 解解：（1）由题意可知：厨余垃圾600吨，投放到“厨余垃圾”箱400吨，故厨余垃圾投放正确的答：

概率为；

（2）由题意可知：生活垃圾投放错误有200+60+20+20=300，故生活垃圾投放错误的概率为

；

（3）由题意可知：∵a+b+c=600，∴a，b，c的平均数为200 ∴

=

，

∵（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac≥a2+b2+c2，因此有当a=600，b=0，c=0时，有s2=80000． 点本题考查概率知识的运用，考查学生的阅读能力，属于中档题． 评： 18．（13分）（2012•北京）已知函数f（x）=ax2+1（a＞0），g（x）=x3+bx

（1）若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求a、b的值；

（2）当a2=4b时，求函数f（x）+g（x）的单调区间，并求其在区间（﹣∞，﹣1）上的最大值．

考点：利 用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上

某点切线方程． 专题：导 数的概念及应用． 分析：（ 1）根据曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，可

知切点处的函数值相等，切点处的斜率相等，故可求a、b的值；

（2）根据a2=4b，构建函数

，求导函

数，利用导数的正负，可确定函数的单调区间，进而分类讨论，确定函数在区间（﹣∞，﹣1）上的最大值． 解答： ：解（1）f（x）=ax2+1（a＞0），则f'（x）=2ax，k1=2a，g（x）=x3+bx，则g′（x）

=3x2+b，k2=3+b，

由（1，c）为公共切点，可得：2a=3+b ① 又f（1）=a+1，g（1）=1+b， ∴a+1=1+b，即a=b，代入①式可得：（2）由题设a2=4b，设则∵a＞0，∴ x

，

（﹣∞，﹣）

h′（x） h（x）

+

极大值

﹣

极小值

+

）

﹣

）

，令h'（x）=0，解得：

，

．

；

∴原函数在（﹣∞，﹣）单调递增，在上单调递增 ①若②若

，即0＜a≤2时，最大值为＜﹣，即2＜a＜6时，最大值为

单调递减，在

；

③若﹣1≥﹣时，即a≥6时，最大值为h（﹣）=1 综上所述：当a∈（0，2]时，最大值为值为

．

；当a∈（2，+∞）时，最大

点评：本 题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与最值，解题的关键是正确求出导函数． 19．（14分）（2012•北京）已知曲线C：（5﹣m）x2+（m﹣2）y2=8（m∈R） （1）若曲线C是焦点在x轴点上的椭圆，求m的取值范围；

（2）设m=4，曲线c与y轴的交点为A，B（点A位于点B的上方），直线y=kx+4与曲线c交于不同的两点M、N，直线y=1与直线BM交于点G．求证：A，G，N三点共线．

考点：直 线与圆锥曲线的综合问题；向量在几何中的应用；椭圆的标准方程． 专题：综 合题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析：（ 1）原曲线方程，化为标准方程，利用曲线C是焦点在x轴点上的椭圆可得不等式

组，即可求得m的取值范围；

（2）由已知直线代入椭圆方程化简得：（2k2+1）x2+16kx+24=0，△=32（2k2﹣3），

解得：

，设N（xN，kxN+4），M（xM，kxM+4），G（xG，1），MB方程为：

，则，从而可得

，=（xN，

kxN+2），欲证A，G，N三点共线，只需证解答：

（1）解：原曲线方程可化简得：

，共线，利用韦达定理，可以证明．

由题意，曲线C是焦点在x轴点上的椭圆可得：，解得：

（2）证明：由已知直线代入椭圆方程化简得：（2k2+1）x2+16kx+24=0，△=32（2k2﹣3）＞0，解得：由韦达定理得：

①，

，②

设N（xN，kxN+4），M（xM，kxM+4），G（xG，1），MB方程为：，

则，

∴，=（xN，kxN+2），

欲证A，G，N三点共线，只需证即

，共线

成立，化简得：（3k+k）xMxN=﹣6（xM+xN）

将①②代入可得等式成立，则A，G，N三点共线得证．

点评：本 题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三点共线，解题的关键

是直线与椭圆方程联立，利用韦达定理进行求解． 20．（13分）（2012•北京）设A是由m×n个实数组成的m行n列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零，记s（m，n）为所有这样的数表构成的集合．对于A∈S（m，n），记r（为A的第ⅰ行各数之和（1≤ⅰ≤m），C（为A的第j列各数之和（1≤j≤n）；iA）jA）

记K（A）为|r1（A）|，|R2（A）|，…，|Rm（A）|，|C1（A）|，|C2（A）|，…，|Cn（A）|中的最小值．

（1）如表A，求K（A）的值；

1 1 ﹣0.8 0.1 ﹣0.3 ﹣1 （2）设数表A∈S（2，3）形如 1 1 c a b ﹣1 求K（A）的最大值；

（3）给定正整数t，对于所有的A∈S（2，2t+1），求K（A）的最大值．

考点：进 行简单的演绎推理；进行简单的合情推理． 专题：压 轴题；新定义；推理和证明． 分析： 1）根据ri（A）（，Cj（A），定义求出r1（A），r2（A），c1（A），c2（A），c3（A），

再根据K（A）为|r1（A）|，|R2（A）|，|R3（A）|，|C1（A）|，|C2（A）|，|C3（A）|中的最小值，即可求出所求．

（2）先用反证法证明k（A）≤1，然后证明k（A）=1存在即可；

（3）首先构造满足明

是最大值即可．

的A={ai，j}（i=1，2，j=1，2，…，2t+1），然后证

解答： ：解（1）由题意可知r1（A）=1.2，r2（A）=﹣1.2，c1（A）=1.1，c2（A）=0.7，c3

（A）=﹣1.8 ∴K（A）=0.7

（2）先用反证法证明k（A）≤1： 若k（A）＞1

则|c1（A）|=|a+1|=a+1＞1，∴a＞0 同理可知b＞0，∴a+b＞0 由题目所有数和为0 即a+b+c=﹣1

∴c=﹣1﹣a﹣b＜﹣1 与题目条件矛盾 ∴k（A）≤1．

易知当a=b=0时，k（A）=1存在 ∴k（A）的最大值为1

（3）k（A）的最大值为首先构造满足

．

的A={ai，j}（i=1，2，j=1，2，…，2t+1）：

，

．

经计算知，A中每个元素的绝对值都小于1，所有元素之和为0，且

，

，

．

下面证明

是最大值．若不然，则存在一个数表A∈S（2，2t+1），使得

．

由k（A）的定义知A的每一列两个数之和的绝对值都不小于x，而两个绝对值不超

过1的数的和，其绝对值不超过2，故A的每一列两个数之和的绝对值都在区间[x，2]中．由于x＞1，故A的每一列两个数符号均与列和的符号相同，且绝对值均不小于x﹣1．

设A中有g列的列和为正，有h列的列和为负，由对称性不妨设g＜h，则g≤t，h≥t+1．另外，由对称性不妨设A的第一行行和为正，第二行行和为负．

考虑A的第一行，由前面结论知A的第一行有不超过t个正数和不少于t+1个负数，每个正数的绝对值不超过1（即每个正数均不超过1），每个负数的绝对值不小于x﹣1（即每个负数均不超过1﹣x）．因此|r1（A）|=r1（A）≤t•1+（t+1）（1﹣x）=2t+1﹣（t+1）x=x+（2t+1﹣（t+2）x）＜x，

故A的第一行行和的绝对值小于x，与假设矛盾．因此k（A）的最大值为

．

点评：本 题主要考查了进行简单的演绎推理，以及新定义的理解和反证法的应用，同时考查

了分析问题的能力，属于难题．