函数的概念导学案

§1.2.1 函数的概念（1）

学习目标 1. 通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；

2. 了解构成函数的要素；

3. 能够正确使用“区间”的符号表示某些集合. 学习过程 一、课前准备 （预习教材P15~ P17，找出疑惑之处）

复习1：放学后骑自行车回家，在此实例中存在哪些变量？变量之间有什么关系？

复习2：（初中对函数的定义）在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与之对应，此时y是x的函数，x是自变量，y是因变量. 表示方法有：解析法、列表法、图象法.

二、新课导学 ※ 学习探究

探究任务一：函数模型思想及函数概念 问题：研究下面三个实例： A. 一枚炮弹发射，经26秒后落地击中目标，射高为845米，且炮弹距地面高度h（米）与时间t（秒）的变化规律是h130t5t2.

B. 近几十年，大气层中臭氧迅速减少，因而出现臭氧层空洞问题，图中曲线是南极上空臭氧层空洞面积的变化情况.

C. 国际上常用恩格尔系数（食物支出金额÷总支出金额）反映一个国家人民生活质量的高低. “八五”计划以来我们城镇居民的恩格尔系数如下表. 年份 1991 1992 1993 1994 1995 … 恩格尔系数%

归纳：三个实例变量之间的关系都可以描述为，对于数集A中的每一个x，按照某种对应关系f，在数集B中都与唯一确定的y和它对应，记作：f:AB.

新知：函数定义.

设A、B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么称f:AB为从集合A到集合B的一个函数（function），记作：yf(x),xA.

其中，x叫自变量，x的取值围A叫作定义域（domain），与x的值对应的y值叫函数值，函数值的集合{f(x)|xA}叫值域（range）.

试试：

（1）已知f(x)x22x3，求f(0)、f(1)、f(2)、f(1)的值.

（2）函数yx22x3,x{1,0,1,2}值域是 .

反思：

（1）值域与B的关系是 ；构成函数的三要素是 、 、 . （2）常见函数的定义域与值域. 函数 一次函数 二次函数 反比例函数 解析式 定义域 值域 yaxb(a0) yax2bxc， 其中a0 ky(k0) x53.8 52.9 50.1 49.9 49.9 … 讨论：以上三个实例存在哪些变量？变量的变化围分别是什么？两个变量之间存在着这样的对应关系？ 三个实例有什么共同点？

.

探究任务二：区间及写法

新知：设a、b是两个实数，且a{x|axb}[a,b)，{x|axb}(a,b]都叫半开半闭区间.

实数集R用区间(,)表示，其中“∞”读“无穷大”；“－∞”读“负无穷大”；“+∞”读“正无穷大”.

试试：用区间表示.

（1）{x|x≥a}= 、{x|x>a}= 、

.

{x|x≤b}= 、{x|x例1已知函数f(x)x1. （1）求f(3)的值；

（2）求函数的定义域（用区间表示）； （3）求f(a21)的值.

变式：已知函数f(x)1x1.

（1）求f(3)的值；

（2）求函数的定义域（用区间表示）； （3）求f(a21)的值.

※ 动手试试

练1. 已知函数f(x)3x25x2，求f(3)、f(2)、f(a1)的值.

练2. 求函数f(x)14x3的定义域.

三、总结提升 ※ 学习小结

①函数模型应用思想；②函数概念；③二次函数

.

的值域；④区间表示. ※ 知识拓展

求函数定义域的规则：

① 分式：yf(x)g(x)，则g(x)0；

② 偶次根式：y2nf(x)(nN*)，则f(x)0； ③ 零次幂式：y[f(x)]0，则f(x)0.

学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 已知函数g(t)2t21，则g(1)（ ）. A. －1 B. 0 C. 1 D. 2

2. 函数f(x)12x的定义域是（ ）.

A. [112,) B. (2,)

C. (,112] D. (,2)

3. 已知函数f(x)2x3，若f(a)1，则a=（ ）. A. －2 B. －1 C. 1 D. 2

4. 函数yx2,x{2,1,0,1,2}的值域是 .

5. 函数y2x的定义域是 ，

值域是 .（用区间表示） 课后作业 1. 求函数y1x1的定义域与值域.

2. 已知yf(t)t2，t(x)x22x3. （1）求t(0)的值；

（2）求f(t)的定义域； （3）试用x表示y.

.

§1.2.1 函数的概念（2）

学习目标 1. 会求一些简单函数的定义域与值域，并能用“区间”的符号表示；

2. 掌握判别两个函数是否相同的方法. 学习过程 一、课前准备 （预习教材P18~ P19，找出疑惑之处） 复习1：函数的三要素是 、 、 .

y3x2函数x与y＝3x是不是同一个函数？为何？

复习2：用区间表示函数y＝kx＋b、y＝ax2＋bx＋

c、y＝kx的定义域与值域，其中k0，a0.

二、新课导学 ※ 学习探究

探究任务：函数相同的判别

讨论：函数y=x、y=(x)、y=x322、y=4x4、y=x2x有何关系？

.

试试：判断下列函数f(x)与g(x)是否表示同一个函数，说明理由？

① f(x) = (x1)0；g(x) = 1. ② f(x)= x； g(x) =

x2. ③ f(x)= x 2

；g(x) = (x1)2. ④ f(x)= | x | ；g(x)=

x2.

小结：

① 如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）；

②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关.

※ 典型例题

例1 求下列函数的定义域 （用区间表示）.

（1）f(x)x3x22；

（2）f(x)2x9；

（3）f(x)x11x2.

试试：求下列函数的定义域 （用区间表示）.

（1）f(x)x2x33x4；

（2）f(x)9x1x4.

.

小结：

（1）定义域求法（分式、根式、组合式）；

（2）求定义域步骤：列不等式（组） → 解不等式（组）.

例2求下列函数的值域（用区间表示）： （1）y＝x2－3x＋4； （2）f(x)x22x4；

（3）y＝5x3； （4）f(x)x2x3.

变式：求函数yaxbcxd(ac0)的值域.

小结：

求函数值域的常用方法有：

观察法、配方法、拆分法、基本函数法.

※ 动手试试

练1. 若f(x1)2x21，求f(x).

.

练2. 一次函数f(x)满足f[f(x)]12x，求f(x).

三、总结提升 ※ 学习小结

1. 定义域的求法及步骤； 2. 判断同一个函数的方法； 3. 求函数值域的常用方法.

※ 知识拓展

对于两个函数yf(u)和ug(x)，通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称它为函数yf(u)和ug(x)的复合函数，记作yf(g(x)). 例如yx21由yu与ux21复合.

学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1. 函数f(x)1xx31的定义域是（ ）. A. [3,1] B. (3,1) C. R D. 

2. 函数y2x13x2的值域是（ ）.

A. (,113)U(3,) B. (,23)U(23,)

C. (,12)U(12,) D. R

3. 下列各组函数f(x)与g(x)的图象相同的是（ ） A.f(x)x,g(x)(x)2 B.f(x)x2,g(x)(x1)2 C.f(x)1,g(x)x0

D.f(x)|x|,g(x)x(x0)x(x0)

4. 函数f(x) = x1+12x的定义域用区间表示

是 .

5. 若f(x1)x21，则f(x)= . 课后作业 1. 设一个矩形周长为80，其中一边长为x，求它的面积y关于x的函数的解析式，并写出定义域.

.

2. 已知二次函数f(x)=ax2

+bx（a，b为常数，且a≠0）满足条件f(x－1)=f(3－x)且方程f(x)=2x有等根，求f(x)的解析式.

§1.2.2 函数的表示法（1）

学习目标 1. 明确函数的三种表示方法（解析法、列表法、图象法），了解三种表示方法各自的优点，在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；

2. 通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用. 学习过程 一、课前准备 （预习教材P19~ P21，找出疑惑之处） 复习1：

（1）函数的三要素是 、 、 .

（2）已知函数f(x)1x21，则f(0) ，

f(1x)= ，f(x)的定义域为 . （3）分析二次函数解析式、股市走势图、银行利率表的表示形式.

复习2：初中所学习的函数三种表示方法？试举出日常生活中的例子说明.

.

二、新课导学 ※ 学习探究

探究任务：函数的三种表示方法

讨论：结合具体实例，如：二次函数解析式、股市走势图、银行利率表等，说明三种表示法及优缺点.

小结：

解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系. 优点：简明；给自变量求函数值.

图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系. 优点：直观形象，反应变化趋势.

列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系. 优点：不需计算就可看出函数值. ※ 典型例题

例1 某种笔记本的单价是2元，买x (x∈{1，2，3，4，5})个笔记本需要y元．试用三种表示法表示函数yf(x).

变式：作业本每本0.3元，买x个作业本的钱数y.

（元）. 试用三种方法表示此实例中的函数.

反思：

例1及变式的函数图象有何特征？所有的函数都可用解析法表示吗？

例2 邮局寄信，不超过20g重时付邮资0.5元，超过20g重而不超过40g重付邮资1元. 每封x克（0变式： 某水果批发店，100 kg单价1元／kg，500 kg、100 kg及以上0.8元／kg，500 kg及以上0.6元／kg，试写出批发x千克应付的钱数y（元）的函数解析式.

试试：画出函数f(x)=|x－1|＋|x＋2|的图象.

.

小结：

分段函数的表示法与意义（一个函数，不同围的x，对应法则不同）. 在生活实例有哪些分段函数的实例？

※ 动手试试

练1. 已知f(x)2x3,x(,0)21,x[0,)，求2xf(0)、

f[f(1)]的值.

练2. 如图，把截面半径为10 cm的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形的边长 为x，面积为y，把y表示成x的函数.

三、总结提升 ※ 学习小结

1. 函数的三种表示方法及优点； 2. 分段函数概念；

3. 函数图象可以是一些点或线段.

※ 知识拓展

任意画一个函数y=f(x)的图象，然后作出y=|f(x)| 和 y=f (|x|) 的图象，并尝试简要说明三者（图象）之间的关系. 学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 如下图可作为函数yf(x)的图象的是（ ）.

A. B. C.

D.

2. 函数y|x1|的图象是（ ）.

.

A. B. C. D.

x2, (x≤1)3. 设f(x)x2, (1x2)，若f(x)3，则x=（ ） 2x, (x≥2) A. 1 B. 3 C. 32 D. 3 24. 设函数（fx）＝x＋2(x2)，则2x(x＜2)f(1)＝ . 5. 已知二次函数f(x)满足f(2x)f(2x)，且

图象在y轴上的截距为0，最小值为－1，则函数

f(x)的解析式为 . 课后作业 1. 动点P从单位正方形ABCD顶点A开始运动一周，设沿正方形ABCD的运动路程为自变量x，写出P点与A点距离y与x的函数关系式，并画出函数的图象.

2. 根据下列条件分别求出函数f(x)的解析式.

（1）f(x1x)x211x2； （2）f(x)2f(x)3x. §1.2.2 函数的表示法（2）

学习目标 1. 了解映射的概念及表示方法； 2. 结合简单的对应图示，了解一一映射的概念； 3. 能解决简单函数应用问题. 学习过程 .

一、课前准备

（预习教材P22~ P23，找出疑惑之处）

复习：举例初中已经学习过的一些对应，或者日常

生活中的一些对应实例：

① 对于任何一个 ，数轴上都有唯一的

点P和它对应； ② 对于坐标平面任何一个点A，都有唯一的

和它对应；

③ 对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积

和它对应； ④ 某影院的某场电影的每一电影票有唯一确定的座位与它对应.

你还能说出一些对应的例子吗？

讨论：函数存在怎样的对应？其对应有何特点？

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务：映射概念 探究 先看几个例子，两个集合A、B的元素之间的一些对应关系，并用图示意. ① A{1,4,9}, B{3,2,1,1,2,3}，对应法则：开平方； ② A{3,2,1,1,2,3}，B{1,4,9}，对应法则：平方； ③ A{30,45,60}, B{1,2312,2,2}, 对应法

则：求正弦.

新知：一般地，设A、B是两个非空的集合，如果

按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f:AB为从集合A到集合B的一个映射（mapping）．记作“f:AB”

关键：A中任意，B中唯一；对应法则f. .

试试：分析例1 ①～③是否映射？举例日常生活中的映射实例？

反思：

① 映射的对应情况有 、 ，一对多是映射吗？

② 函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，即映射.

※ 典型例题

例1 探究从集合A到集合B一些对应法则，哪些是映射，哪些是一一映射？

（1）A={P | P是数轴上的点}，B=R； （2）A={三角形}，B={圆}；

（3）A={ P | P是平面直角体系中的点}，

B{(x,y)|xR,yR}；

（4） A={高一学生}，B= {高一班级}.

变式：如果是从B到A呢？

试试：下列对应是否是集合A到集合B的映射 （1）A1,2,3,4,B2,4,6,8，对应法则是“乘以2”； （2）A= R*，B=R，对应法则是“求算术平方根”； （3）Ax|x0,BR，对应法则是“求倒数”.

※ 动手试试

.

练1. 下列对应是否是集合A到集合B的映射？ （1）A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7，8，9}，对应法则f:x2x1；

（2）AN*,B{0,1}，对应法则f:xx除以2得的余数；

（3）AN，B{0,1,2}，f:xx被3除所得的余数；

（4）设X{1,2,3,4},Y{1,112,113,4}f:xx；

（5）A{x|x2,xN},BN，f:x小于x的最大质数.

练2. 已知集合Aa,b,B1,0,1,从集合A到集合B的映射，试问能构造出多少映射？

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 映射的概念；

2. 判定是否是映射主要看两条：一条是A集合中的元素都要有对应，但B中元素未必要有对应；二条是A中元素与B中元素只能出现“一对一”或“多对一”的对应形式．

※ 知识拓展

在交通拥挤及事故多发地段，为了确保交通安全，规定在此地段，车距d是车速v（千米／小时）的平方与车身长s（米）的积的正比例函数，且最小车距不得小于车身长的一半．现假定车速为50公里／小时时，车距恰好等于车身上，试写出d关于v的函数关系式（其中s为常数）.

.

学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 在映射f:AB中，AB{(x,y)|x,yR}，且f:(x,y)(xy,xy)，则与A中的元素(1,2)对应的B中的元素为（ ）. A.(3,1) B.(1,3) C.(1,3) D.(3,1)

2.下列对应f:AB：

① AR,BxRx0,f:xx; ②AN,BN*,f:xx1;

③AxRx0,BR,f:xx2. 不是从集合A到B映射的有（ ）. A. ①②③ B. ①② C. ②③ D. ①③ 0(x3. 已知f(x)0)(x0)，则f{f[f(1)]}=（ ） x1(x0) A. 0 B.  C. 1 D.无法求

4. 若f(1x)x1x， 则f(x)= . 5. 已知f(x)=x2

1，g(x)=x1则f[g(x)] = .

课后作业 1. 若函数yf(x)的定义域为[1，1]，求函数yf(x14)gf(x14)的定义域.

2. 移动公司开展了两种通讯业务：“全球通”，月租50元，每通话1分钟，付费0.4元；“神州行”不缴月租，每通话1分钟，付费0.6元. 若一个月通话x分钟，两种通讯方式费用分别为y1,y2（元）. （1）写出y1,y2与x之间的函数关系式？

（2）一个月通话多少分钟，两种通讯方式的费用

相同？

（3）若某人预计一个月使用话费200元，应选择哪种通讯方式？

.

§1.3.1 单调性与最大（小）值（1）

学习目标 1. 通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；

2. 能够熟练应用定义判断数在某区间上的单调性； 3. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质. 学习过程 一、课前准备 （预习教材P27~ P29，找出疑惑之处） 引言：函数是描述事物运动变化规律的数学模型，那么能否发现变化中保持不变的特征呢？

复习1：观察下列各个函数的图象.

探讨下列变化规律：

① 随x的增大，y的值有什么变化？ ② 能否看出函数的最大、最小值？ ③ 函数图象是否具有某种对称性？

复习2：画出函数f(x)x2、f(x)x2的图象.

小结：描点法的步骤为：列表→描点→连线.

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务：单调性相关概念 思考：根据f(x)x2、f(x)x2(x0)的图象进.

行讨论：随x的增大，函数值怎样变化？当x1>x2时，f(x1)与f(x2)的大小关系怎样？

问题：一次函数、二次函数和反比例函数，在什么区间函数有怎样的增大或减小的性质？

新知：设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I的某个区间D的任意两个自变量x1，x2，当x1试试：仿照增函数的定义说出减函数的定义.

新知：如果函数f(x)在某个区间D上是增函数或减函数，就说f(x)在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D叫f(x)的单调区间.

反思：

① 图象如何表示单调增、单调减？

② 所有函数是不是都具有单调性？单调性与单调区间有什么关系？

③ 函数f(x)x2的单调递增区间是 ，单调递减区间是 .

试试：如图，定义在[-5,5]上的f(x)，根据图象说出单调区间及单调性.

※ 典型例题

例1 根据下列函数的图象，指出它们的单调区间及单调性，并运用定义进行证明.

（1）f(x)3x2； （2）f(x)1x.

.

变式：指出ykxb、ykx(k0)的单调性. 例2 物理学中的玻意耳定律pkV（k为正常数），

告诉我们对于一定量的气体，当其体积V增大时，压强p如何变化？试用单调性定义证明.

小结：

① 比较函数值的大小问题，运用比较法而变成判别代数式的符号；

② 证明函数单调性的步骤：

第一步：设x1、x2∈给定区间，且x1第二步：计算f(x1)－f(x2)至最简； 第三步：判断差的符号； 第四步：下结论.

※ 动手试试 练1.求证f(x)x1x的(0,1)上是减函数，在[1,)是增函数.

练2. 指出下列函数的单调区间及单调性.

.

（1）f(x)|x|； （2）f(x)x3.

三、总结提升 ※ 学习小结

1. 增函数、减函数、单调区间的定义；

2. 判断函数单调性的方法（图象法、定义法）. 3. 证明函数单调性的步骤：取值→作差→变形→ 定号→下结论.

※ 知识拓展

函数f(x)xax(a0)的增区间有[a,)、

(,a]，减区间有(0,a]、[a,0) .

学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 函数f(x)x22x的单调增区间是（ ） A. (,1] B. [1,) C. R D.不存在

2. 如果函数f(x)kxb在R上单调递减，则（ ）

A. k0 B. k0 C. b0 D. b0

3. 在区间(,0)上为增函数的是（ ）

A．y2x B．y2x

C．y|x| D．yx2 4. 函数yx31的单调性是 .

5. 函数f(x)|x2|的单调递增区间是 ，单调递减区间是 . 课后作业 1. 讨论f(x)1xa的单调性并证明.

.

2. 讨论f(x)ax2bxc(a0)的单调性并证明.

§1.3.1 单调性与最大（小）值（2）

学习目标 1. 理解函数的最大（小）值及其几何意义；

2. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质.

学习过程 一、课前准备 （预习教材P30~ P32，找出疑惑之处） 复习1：指出函数f(x)ax2bxc(a0)的单调

区间及单调性，并进行证明.

复习2：函数f(x)ax2bxc(a0)的最小值

为 ，f(x)ax2bxc(a0)的最大值为 . 复习3：增函数、减函数的定义及判别方法. 二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务：函数最大（小）值的概念 .

思考：先完成下表， 函数 最高点 最低点 f(x)2x3 f(x)2x3,x[1,2] f(x)x22x1 f(x)x22x1,x[2,2] 讨论体现了函数值的什么特征？ 新知：设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；存在x0∈I，使得f(x0) = M. 那么，称M是函数y=f(x)的最大值（Maximum Value）. 试试：仿照最大值定义，给出最小值（Minimum Value）的定义． 反思： 一些什么方法可以求最大（小）值？ ※ 典型例题 例1一枚炮弹发射，炮弹距地面高度h（米）与时间t（秒）的变化规律是h130t5t2，那么什么时刻距离地面的高度达到最大？最大是多少？

变式：经过多少秒后炮弹落地？

试试：一段竹篱笆长20米，围成一面靠墙的矩形

菜地，如何设计使菜地面积最大？

小结：

数学建模的解题步骤：审题→设变量→建立函数.

模型→研究函数最大值. 例2求y3x2在区间[3，6]上的最大值和最小值.

变式：求y3xx2,x[3,6]的最大值和最小值. 小结： 先按定义证明单调性，再应用单调性得到最大（小）值. 试试：函数y(x1)22,x[0,1]的最小值为 ，最大值为 . 如果是x[2,1]呢？ ※ 动手试试 练1. 用多种方法求函数y2xx1最小值.

变式：求yx1x的值域.

.

练2. 一个星级旅馆有房价（元） 住房率（%） 150个标准房，经过一160 55 段时间的经营，经理得到一些定价和住房140 65 率的数据如右： 120 75 欲使每天的的营业100 85 额最高，应如何定价？

三、总结提升 ※ 学习小结

1. 函数最大（小）值定义；.

2. 求函数最大（小）值的常用方法：配方法、图象法、单调法.

※ 知识拓展

求二次函数在闭区间上的值域，需根据对称轴与闭区间的位置关系，结合函数图象进行研究. 例如求f(x)x2ax在区间[m,n]上的值域，则先求

得对称轴xaaa2，再分mn2m、m22、

mn2a2n、a2n等四种情况,由图象观察得解.

学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 函数f(x)2xx2的最大值是（ ）. A. －1 B. 0 C. 1 D. 2 2. 函数y|x1|2的最小值是（ ）. A. 0 B. －1 C. 2 D. 3

3. 函数yxx2的最小值是（ ）. A. 0 B. 2 C. 4 D. 2 4. 已知函数f(x)的图象关于y轴对称，且在区间(,0)上，当x1时，f(x)有最小值3，则在区间(0,)上，当x 时，f(x)有最 值为 .

.

5. 函数yx21,x[1,2]的最大值为 ，

最小值为 . 课后作业 1. 作出函数yx22x3的简图，研究当自变量x在下列围取值时的最大值与最小值． （1）1x0； （2）0x3 ；（3）x(,).

2. 如图，把截面半径为10 cm的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形一边长为x，

面积为y，试将y表示成x的函数，并画 出函数的大致图象，并判断怎样锯才能使得截面面积最大？

§1.3.2 奇偶性

学习目标 1. 理解函数的奇偶性及其几何意义；

2. 学会判断函数的奇偶性；

3. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质. 学习过程 一、课前准备 （预习教材P33~ P36，找出疑惑之处）

复习1：指出下列函数的单调区间及单调性.

.

（1）f(x)x21； （2）f(x)1x

复习2：对于f(x)＝x、f(x)＝x2、f(x)＝x3、f(x)＝x4，分别比较f(x)与f(－x). 二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务：奇函数、偶函数的概念 思考：在同一坐标系分别作出两组函数的图象： （1）f(x)x、f(x)1x、f(x)x3； （2）f(x)x2、f(x)|x|. 观察各组图象有什么共同特征？函数解析式在函数值方面有什么特征？

新知：一般地，对于函数f(x)定义域的任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)叫偶函数（even function）.

试试：仿照偶函数的定义给出奇函数（odd function）的定义.

反思：

① 奇偶性的定义与单调性定义有什么区别？

② 奇函数、偶函数的定义域关于 对称，图象关于 对称.

试试：已知函数f(x)1x2在y轴左边的图象如图所

.

示，画出它右边的图象.

※ 典型例题

例1 判别下列函数的奇偶性：

（1）f(x)3x4； （2）f(x)4x3；

（3）f(x)3x45x2； （4）f(x)3x1x3.

小结：判别方法，先看定义域是否关于原点对称，再计算f(x)，并与f(x)进行比较. 试试：判别下列函数的奇偶性： （1）f(x)＝|x＋1|+|x－1|； （2）f(x)＝x＋1x；

（3）f(x)＝x1x2； （4）f(x)＝x2, x∈[-2,3].

例2 已知f(x)是奇函数，且在(0,+∞)上是减函数，判断f(x)的(-∞,0)上的单调性，并给出证明. .

变式：已知f(x)是偶函数，且在[a,b]上是减函数，试判断f(x)在[-b,-a]上的单调性，并给出证明.

小结：设→转化→单调应用→奇偶应用→结论.

※ 动手试试

练习：若f(x)ax3bx5，且f(7)17，求f(7).

三、总结提升 ※ 学习小结

1. 奇函数、偶函数的定义及图象特征；

2. 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质.

3. 判断函数奇偶性的方法：图象法、定义法.

※ 知识拓展

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定义在R上的奇函数的图象一定经过原点. 由图象对称性可以得到，奇函数在关于原点对称区间上单调性一致，偶函数在关于原点对称区间上的单调性相反. 学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 对于定义域是R的任意奇函数f(x)有（ ）. A．f(x)f(x)0 B．f(x)f(x)0 C．f(x)gf(x)0 D．f(0)0

2. 已知f(x)是定义(,)上的奇函数，且f(x)在0,上是减函数. 下列关系式中正确的是（ ） A. f(5)f(5) B.f(4)f(3) C. f(2)f(2) D.f(8)f(8) 3. 下列说法错误的是（ ）.

A. f(x)x1x是奇函数 B. f(x)|x2|是偶函数

C. f(x)0,x[6,6]既是奇函数，又是偶函数

x)x3x2D.f(x1既不是奇函数，又不是偶函数

4. 函数f(x)|x2||x2|的奇偶性是 . 5. 已知f(x)是奇函数，且在[3,7]是增函数且最大值为4，那么f(x)在[-7,-3]上是 函数，且最 值为 . 课后作业 1. 已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且

f(x)g(x)1x1，求f(x)、g(x).

2. 设f(x)在R上是奇函数，当x>0时，f(x)x(1x)， 试问：当x<0时，f(x)的表达式是什么？

.

§1.3 函数的基本性质（练习） 学习目标 1. 掌握函数的基本性质（单调性、最大值或最小值、奇偶性）； 2. 能应用函数的基本性质解决一些问题； 3. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质. 学习过程 一、课前准备 （复习教材P27~ P36，找出疑惑之处）

复习1：如何从图象特征上得到奇函数、偶函数、增函数、减函数、最大值、最小值？

复习2：如何从解析式得到奇函数、偶函数、增函数、减函数、最大值、最小值的定义？

二、新课导学 ※ 典型例题

例1 作出函数y＝x2－2|x|－3的图象，指出单调区间及单调性.

.

小结：利用偶函数性质，先作y轴右边，再对称作. 变式：y＝|x2－2x－3| 的图象如何作？

反思：

如何由f(x)的图象，得到f(|x|)、|f(x)|的图象？

例2已知f(x)是奇函数，在(0,)是增函数，判断f(x)在(,0)上的单调性，并进行证明.

反思：

奇函数或偶函数的单调区间及单调性有何关系？ （偶函数在关于原点对称的区间上单调性 ；奇函数在关于原点对称的区间上单调性 ）

例3某产品单价是120元，可销售80万件. 市场调查后发现规律为降价x元后可多销售2x万件，写出销售金额y(万元)与x的函数关系式，并求当降价多少元时，销售金额最大？最大是多少？

.

小结：利用函数的单调性（主要是二次函数）解决有关最大值和最大值问题 ※ 动手试试

练1. 判断函数y=x2x1单调性，并证明.

练2. 判别下列函数的奇偶性：

（1）y＝1x＋1x；（2）y＝x2x(x0)x2x(x0).

练3. 求函数f(x)x1x(x0)的值域.

.

三、总结提升 ※ 学习小结

1. 函数单调性的判别方法：图象法、定义法. 2. 函数奇偶性的判别方法：图象法、定义法.

3. 函数最大（小）值的求法：图象法、配方法、单调法.

※ 知识拓展

形如f(|x|)与|f(x)|的含绝对值的函数，可以化分段函数分段作图，还可由对称变换得到图象. f(|x|)的图象可由偶函数的对称性，先作y轴右侧的图象，并把y轴右侧的图象对折到左侧. |f(x)|的图象，先作f(x)的图象，再将x轴下方的图象沿x轴对折到x轴上方. 学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 函数yx2bxc(x(,1))是单调函数时，b的取值围 （ ）. A．b2 B．b2 C ．b2 D． b2 2. 下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是（ ）.

A．yx1

B．yx

C．yx24x5

D．y2x

ax23. 已知函数y=bxc为奇函数，则（ ）.

A. a0 B. b0 C. c0 D. a0 4. 函数y＝x＋2x1的值域为 . 5. f(x)x24x在[0,3]上的最大值为 ，最小值为 . 课后作业 1. 已知f(x)是定义在(1,1)上的减函数，且 f(2a)f(a3)0. 数a的取值围.

.

2. 已知函数f(x)1x2. （1）讨论f(x)的奇偶性，并证明； （2）讨论f(x)的单调性，并证明.

第一章 集合与函数的概念（复习） 学习目标 1. 理解集合有关概念和性质，掌握集合的交、并、补等三种运算的，会利用几何直观性研究问题，如数轴分析、Venn图；

2. 深刻理解函数的有关概念，理解对应法则、图象等有关性质，掌握函数的单调性和奇偶性的判定方法和步骤，并会运用解决实际问题. 学习过程 一、课前准备 （复习教材P2~ P45，找出疑惑之处） 复习1：集合部分.

① 概念：一组对象的全体形成一个集合 ② 特征：确定性、互异性、无序性 ③ 表示：列举法{1,2,3,…}、描述法{x|P} ④ 关系：∈、、、、= ⑤ 运算：A∩B、A∪B、CUA

⑥ 性质：AA； A，…. ⑦ 方法：数轴分析、Venn图示.

复习2：函数部分.

① 三要素：定义域、值域、对应法则；

② 单调性：f(x)定义域某区间D，x1,x2D， x1x2时，f(x1)f(x2)，则f(x)的D上递增；

.

x1x2时，f(x1)f(x2)，则f(x)的D上递减. ③ 最大（小）值求法：配方法、图象法、单调法. ④ 奇偶性：对f(x)定义域任意x， f(x)f(x)  奇函数； f(x)f(x)  偶函数.

特点：定义域关于原点对称，图象关于y轴对称.

二、新课导学 ※ 典型例题

例1设集合A{x|x2axa2190}，

B{x|x25x60}，C{x|x22x80}. （1）若AIB=AUB，求a的值；

（2）若AIB，且AIC=，求a的值； （3）若AIB=AIC，求a的值.

例2 已知函数f(x)是偶函数，且x0时，

f(x)1x1x. （1）求f(5)的值； （2）求f(x)0时x的值； （3）当x>0时，求f(x)的解析式．

.

3 设函数f(x)1x2例1x2．

（1）求它的定义域； （2）判断它的奇偶性；

（3）求证：f(1x)f(x)；

（4）求证：f(x)在[1,)上递增.

※ 动手试试

练1. 判断下列函数的奇偶性：

（1）f(x)2x22xx1； （2）f(x)x32x；

（3）f(x)a（xR）； （4）f(x)x(1x)x0,x(1x) x0.

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练2. 将长度为20 cm的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆，要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为多少？

三、总结提升 ※ 学习小结

1. 集合的三种运算：交、并、补；

2. 集合的两种研究方法：数轴分析、Venn图示； 3. 函数的三要素：定义域、解析式、值域；

4. 函数的单调性、最大（小）值、奇偶性的研究.

※ 知识拓展

要作函数yf(xa)的图象，只需将函数yf(x)的图象向左(a0)或向右(a0)平移|a|个单位即可. 称之为函数图象的左、右平移变换.

要作函数yf(x)h的图象，只需将函数yf(x)的图象向上(h0)或向下(h0)平移|h|个单位即可. 称之为函数图象的上、下平移变换.

学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1. 若Ax|x20，则下列结论中正确的是（ ）. A. A0 B. 0A C. A D. A

2. 函数yx|x|px，xR是（ ）. A．偶函数 B．奇函数 C．不具有奇偶函数 D．与p有关 3. 在区间(,0)上为增函数的是（ ）.

A．y1 B．yx1x2

.

C．yx22x1 D．y1x2 4. 某班有学生55人，其中音乐爱好者34人，体育爱好者43人，还有4人既不爱好体育也不爱好音乐，则班级中即爱好体育又爱好音乐的有 人. 5. 函数f(x)在R上为奇函数，且x0时，f(x)x1，则当x0，f(x) .

课后作业 1A. 1a（1）若2A，则在A中还有两个元素是什么； （2）若A为单元集，求出A和a.

2. 已知f(x)是定义在R上的函数，设

f(x)f(x)f(x)f(x)，h(x). g(x)22（1）试判断g(x)与h(x)的奇偶性；

1. 数集A满足条件：若aA,a1，则

（2）试判断g(x),h(x)与f(x)的关系； （3）由此你猜想得出什么样的结论，并说明理由？

.