(完整word版)初中数学相关定理及证明

高中数学相关定理、公式及结论证明

一、三角函数部分

1.正弦定理证明

内容：在ABC中，a,b,c分别为角A,B,C的对边,则证明： 1.利用三角形的高证明正弦定理

（1）当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD， 根据锐角三角函数的定义,有CDbsinACDasinB.

A

b

abc .sinAsinBsinCC

a

由此，得 故有

asinAasinAbsinB，

同理可得

csinCbsinB，

D

B

bsinBcsinC。

C

从而这个结论在锐角三角形中成立.

（2)当ABC是钝角三角形时,过点C作AB边上的高， 交AB的延长线于点D,根据锐角三角函数的定义， 有CDasinCBDasinABC，CDbsinA 。由此，得 故有

asinAasinAb

a

A

B D

bbsinABC同理可得 ，

ccsinCsinABC

bsinABCsinC.

（3）在RtABC中，sinA,sinB,

abc， sinAsinBabc .sinAsinBsinCacbc C90,sinC1.由（1)(2)（3）可知，在ABC中，absinAsinBcsinC

成立。

2.外接圆证明正弦定理

1

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在△ABC中，已知BC=a,AC=b,AB=c，作△ABC的外接圆,O为圆心, 连结BO并延长交圆于B′，设BB′=2R.则根据直径所对的圆周 角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到 ∠BAB′=90°，∠C =∠B′， ∴sinC=sinB′=sinCsinBc2R. ∴

csinC2R. 同理,可得

abasinA2R,sinB2R.∴

sinAbsinBcsinC2R.3.向量法证明正弦定理

OC'ACcos(A90)bsinA

OC'BCsinBasinB

asinBbsinA abcsinAsinB 同理 sinCbsinB

故有

absinAsinBcsinC.

2.余弦定理证明

内容：在ABC中，a,b,c分别为角A,B,C的对边,

a2b2c22bccosAb2a2c22accosB c2a2b22abcosC证明：如图在ABC中，

a2a2BC2(ACAB)(ACAB)

2

AC2AC•ABAB2AC22AC•ABcosAAB2

b2c22bccosA

2

则

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222abc2bccosA2222abc2bccosA22同理可证：2 所以bac2accosB 22cab2abcosCc2a2b22abcosC3。两角和(差）的余弦公式证明

如图在单位圆中设P(cos,sin），Q（cos,sin) 则：OP•OQOP•OQcos()cos()

OP•OQcoscossinsin cos()coscossinsin

在单位圆中设P(cos,sin)，Q（cos,—sin） 则：OP•OQOP•OQcos()cos()

OP•OQcoscossinsin cos()coscossinsin

(或）cos()cos() 4.两角和（差）的正弦公式证明 二、两角和(差)的正弦公式证明。

内容：sin()sincoscossin,sin()sincoscossin 证明：

sin()cos[2()]cos[(2)]cos(2)cossin(2)sin

sincoscossin

sin()cos[2()]cos[(2)]cos(2)cossin(2)sin

sincoscossin

5．两角和（差)的正切公式证明

)内容：tan(3

tantantantan)，tan(

1tantan1tantan(完整word版)初中数学相关定理及证明

证明：

sincoscossinsin()sincoscossincoscoscoscostantantan()

cos()coscossinsincoscossinsin1tantancoscoscoscos

sincoscossinsin()sincoscossincoscoscoscostantantan()

cos()coscossinsincoscossinsin1tantancoscoscoscos6．半角公式证明 内容：sin21cos1cos1cos2sin1cos ,cos,tan22221cos1cos2sin2cos212sin证明：由二倍角公式 2cos22cos12cos12sin1cos1cos2用代替2，得，得sin ,cos2222cos2cos212tan2sin22cos22sin，tan2221cos 1cos2sin2cos•2coscoscos•2sin222222sin•2cossinsin•2sin7.诱导公式

sin(）-sincos(）cos公式： tan(   ） tan

如图：

设的终边与单位圆(半径为单位长度1的园）交 于点P（x，y），则角—的终边与单位圆的交点必为 P´（x，-y）．由正弦函数、余弦函数的定义，即可得

4

P′(x，-y)(4-5-2)P(x,y)yMOx(完整word版)初中数学相关定理及证明

sin=y， cos=x， sin（-）=-y, cos(—)=x, 所以：sin（-)= —sin, cos(—)= cosα

由倒数关系和商数关系可以得到有关正切的—诱导公式。 公式:

sin(）-sin cos(）-cos tan(）tan

它刻画了角180º+与角的正弦值（或余弦值)

P(x,y)My之间的关系，这个关系是:以角终边的反向延长线 为终边的角的正弦值（或余弦值）与角的正弦值（或 圆交于点P（ x，y)，则角终边的反向延长线，即

180M′xP′(-x，-y)O(4-5-1)180º+角的终边与单位圆的交点必为P´(-x,—y）(如图4—5—1）．

由正弦函数、余弦函数的定义，即可得sin=y， cos=x， sin（180º+)=—y， cos（180º+）=—x, 所以 ：sin(180º+）=—sin，cos（180º+）=-cos． 由倒数关系和商数关系可以得到有关正切的诱导公式。 相应诱导公式

公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等:

sin（2kπ+α）=sinα k∈z cos(2kπ+α)=cosα k∈z tan（2kπ+α）=tanα k∈z 公式二：sin（π+α）=－sinα cos（π+α)=－cosα tan（π+α）=tanα 公式三：sin（－α）=－sinα

公式四: 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：

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sin（π－α）=sinα cos（π－α）=－cosα tan（π－α）=－tanα 公式五: 利用公式一和公式三可以得到2π—α与α的三角函数值之间的关系： sin(2π－α）=－sinα cos(2π－α）=cosα tan（2π－α)=－tanα 公式六： π/2±α与α的三角函数值之间的关系：

sin（π/2+α)=cosα cos（π/2+α）=－sinα tan（π/2+α）=－cotα sin（π/2－α）=cosα cos（π/2－α）=sinα tan（π/2－α）=cotα

二。数列部分

1．等差数列前n项和公式证明

内容:an是等差数列，公差为d，首项为a1，Sn为其n前项和,则Sna1n证明:由题意, Sna1(a1d)(a12d).......(a1(n1)d)① 反过来可写为：Snan(and)(an2d).......(an(n1)d)②

①+②得：2Sna1na1n.......a1n n个n(a1an)n(n1)d 22所以，Snn(a1an)③， 2n(a1an)n(n1)d 22把ana1(n1)d代入③中，得Sna1n2．等比数列前n项和公式证明

na1,(q1)内容：an是等比数列，公比为q，首项为a1，Sn为其n前项和,则Sn=a1anqa1(1qn)

,(q1)1q1q证明:Sna1a1qa1q2.......a1qn1① qSna1qa1q2a1q3.......a1qn②

①—②得:(1q)Sna1a1qn,

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a1a1qna1(1qn)当q1时，Sn③ 1q1q把ana1qn1代入③中，得Sn当q1时。很明显Snna1

a1anq 1qna1,(q1)所以，Sn=a1anqa1(1qn)

,(q1)1q1q三。立体几何部分

1.三垂线定理及其逆定理

内容：在平面内的一条直线,如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

证明：已知：如图（9），直线l与平面相交与点A,l在上的射影OA垂直于a,a

求证：l⊥a

证明： 过P作PO垂直于

∵PO⊥α ∴PO⊥a 又a⊥OA ,PO∩OA=O ∴a⊥平面POA ∴a⊥l

2.求证：如果一条直线与一个平面平行，那么过该直线的任意一个平面与已知平面的交线与该直线平行.

如图所示:已知a,a在平面，=b,

求证：ab.

7

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证明a,b在内, a和没有公共点, 又 a和b也没有公共点, 而a和b都在内，a和b也没有公共点,

ab.

3.求证:如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。

如图所示:已知,a,b.求证：ab.

证明：a和b分别在平面、内 且， a和b不相交， 又a和b都在平面内， ab.

4.求证：如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。

如图所示:已知,=MN,AB在内，ABMN于B点。求证：AB. 则ABC是二面角-MN-的 平面角， ，ABC =90，  ABBC 又ABMN， AB

证明：在平面内做直线BCMN，

5。求证：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。

如图所示:已知a,b,垂足分别为A、B.求证：ab.证明：假设a和b不平行， 过B点作a的平行线b' 由异面直线垂直定义，b'与平面内过 点A的任意直线都垂直，也即有b'， bb'B,故直线b'与b与确定一个平面，记， =l,在平面内， 过B点有且仅有一条 直线垂直于l，故直线b'与b重合， 所以ab.8

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四、解析几何部分 1.点到直线距离公式证明

内容：已知直线l:AxByC0,直线外一点M(x0,y0).则其到直线l的距离为d向量法证明1：

设直线l:AxByC0,直线外一点M(x0,y0).直线上一点P(x,y).可得直线的 一个方向向量为v(B,A),设其法向量为n(s,t) 则v•nBsAt0，可得直线一法向量为n(A,B),

n的单位向量为n0Ax0By0CAB22.

nn(AAB22,BAB22)

由题意，点M到直线的距离为PM在n0上的射影， 所以，dPM•n0A(x0x)B(y0y)AB22Ax0By0(AxBy)AB22②

因为点P(x,y)在直线上,所以C(AxBy)① 所以，把①代入②中，得dAx0By0CAB22

证明2：设直线l:AxByC0(A0,B0)的一个法向量n(1,B)

A，Q

B(y1y0)||A(xx)B(yy)||nPQ|1010Ad222直线上任意一点, |n|BAB12A|Ax1By1Ax0By0||Ax0By0C|P点在直线l上,Ax1By1C0,从而d22ABA2B2|x1x0证明3：根据定义，点P到直线 l的距离是点P到直线 l的垂线段的长,如图1, 设点P到直线l的垂线为 l',垂足为Q，由 l'l可知 l'的斜率为

l'的方程：yy0B AB(xx0)与l联立方程组 A9

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B2x0ABy0ACA2y0ABx0BC解得交点Q(,)

2222ABABB2x0ABy0ACA2y0ABx0BC2|PQ|(x0)(y0)22222ABAB|Ax0By0C| A2x0ABy0AC2B2y0ABx0BC2PQ|22()()2222ABABAB222A(Ax0By0C)B(Ax0By0C)2(Ax0By0C)2(A2B2)2(A2B2)2A2B22五、平面向量部分

1.平行向量定理

内容：若两个向量（与坐标轴不平行)平行，则它们相应的坐标成比例；若两个向量相对应的坐标成比例，则两向量平行.

证明：设a,b是非零向量，且a(x1,y1),b(x2,y2)

若a//b，则存在实数使ab，且由平面向量基本定理可知x1iy1j(x2iy2j)x2iy2j.

x1x2①，y1y2② ①y2②x2得：x1y2x2y10

若y10,y20（即向量a,b不与坐标轴平行）则2。平面向量基本定理

x1x2 y1y2内容：如果e1,e2是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意一向量a,存在

唯一一对

实数1,2，使得a1e12e2.

证明:如图过平面内一点O，作OAe1,OBe2,OCa，过点C分别作直 线OA和直线OB的平行线，交OA于点M，

只有一组实数，使

Be2NC交OB于点N，有且

得OM1OA,ON2OB a

OCOMONOC1OA2OB10

OMe1A(完整word版)初中数学相关定理及证明

即a1e12e2.

3。共线向量定理

内容：如图A，B,C为平面内的三点，且A，B不重合，点一点，若C在直线AB上，则有PCPA(1)PB 证明：由题意,BC与BA共线，BCBA

BCPCPB,BAPAPBPCPB(PAPB)AP为平面内任

CB P化简为:PCPA(1)PB

六、柯西不等式

若a、b、c、d为实数，则(a2b2)(c2d2)(acbd)2或|acbd|a2b2c2d2

证法：（综合法）(a2b2)(c2d2)a2c2a2d2b2c2b2d2 (acbd)2(adbc)2(acbd)2。

证法:（向量法）设向量m(a,b),n(c,d),则|m|a2b2，|n|c2d2.

∵ m•nacbd，且mn|m||n|cosm,n,则|mn||m||n|。 ∴(a2b2)(c2d2)(acbd)2

七、函数和导数部分

换底公式证明 内容：logbNlogaN(N,a,b0;a,b1) logab证明：设logaNX,logabY，则baY,NaX

logbNlogaYaX

XXlogaN logaaYYlogab11