高中向量知识点归纳

一、平面向量的概念及线性运算

1． 向量的有关概念

名称 向量

定义

既有大小又有方向的量； 向量的大小叫

做向量的长度 (或称模 )

备注

平面向量是自由向量

零向量 单位向量 平行向量 共线向量

长度为 0 的向量；其方向是任意的

长度等于 1 个单位的向量 方向相同或相反的非零向量

方向相同或相反的非零向量又叫做共

线向量

记作 0

非零向量 a 的单位向量为 ±

a

|a|

0 与任一向量平行或共线

相等向量 相反向量

2.向量的线性运算

长度相等且方向相同的向量 长度相等且方向相反的向量

两向量只有相等或不等， 不能比较大小

0 的相反向量为 0

向量运算 定义 法则 (或几何意义 ) 运算律

(1)交换律： a＋ b ＝ b＋ a. (2)结合

加法

求两个向量和的运算

律： ( a＋ b) ＋ c＝

a＋ ( b＋ c) ．

求 a 与 b 的相反向量－

减法

b 的和的运算叫做 a 与

b 的差

三角形

法则

(1)|λa|＝ |λ||a|；(2) 当 λ>0 时，λa 的方向与 a 的方

a－ b＝ a＋ (－ b)

求实数 λ与向量 a 的积

数乘

的运算

λ(μa)＝ ( λμ)a； (λ ＋ μ)a＝ λa＋ μa；λ(a＋ b)＝ λa＋ λb

向相同；当 λ<0 时， λa

的方向与 a 的方向相

反；当 λ＝ 0 时， λa＝0

3.共线向量定理

向量 a(a≠ 0)与 b 共线的充要条件是存在唯一一个实数

λ，使得 b＝ λa.

二、平面向量基本定理及坐标表示

1． 平面向量基本定理

如果 e 、e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量

1 11

2 22

a，有且只有一对实数 λ、λ，使

1

2

a＝ λe ＋ λe . 其中，不共线的向量

1 / 2

e1、 e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．

2． 平面向量的坐标运算

(1)向量加法、减法、数乘及向量的模

设 a＝ (x1， y1)， b＝ (x2， y2)，则

a＋ b＝ (x1＋ x2， y1＋ y2)， a－ b＝(x1－ x2， y1－ y2)，

2＋y2 ， λy

λa＝ (λx1 1)， |a|＝ x1 1. (2)向量坐标的求法

①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．

→ → 2 2

②设 A( x1， y1)， B(x2， y2)，则 AB＝ (x2－ x1， y2－ y1)， |AB|＝ x2－ x1 ＋ y2－ y1 .

3． 平面向量共线的坐标表示

设 a＝ (x1， y1)， b＝ (x2， y2)， a∥ b? x1y2－ x2y1＝ 0.

三、平面向量的数量积

1． 平面向量的数量积

已知两个非零向量

a 和 b，它们的夹角为 θ，则数量 |a||b|cos θ叫做 a 和 b 的数量积 (或内积 )，记作 a·b＝ |a||b|cos θ.

__0__.

a·b＝ 0，两个非零向量 a 与 b 平行的充要条件是

a·b＝ ±|a||b|.

规定：零向量与任一向量的数量积为

两个非零向量 a 与 b 垂直的充要条件是

2． 平面向量数量积的几何意义

数量积 a·b 等于 a 的长度 |a|与 b 在 a 的方向上的投影 |b|cos θ的乘积．

3． 平面向量数量积的重要性质

(1)e·a＝ a·e＝ |a|cos θ；

(2)非零向量 a， b， a⊥ b? a·b＝ 0；

(3)当 a 与 b 同向时， a·b＝ |a||b|；

当 a 与 b 反向时， a·b＝－ |a||b|， a·a＝a2， |a|＝

a·b

(4)cos θ＝ ；

|a||b| (5)| a·b|__≤ __|a||b|.

a·a；

2

2

4． 平面向量数量积满足的运算律

(1)a·b＝ b·a(交换律 ) ；

(2)( λa) ·b＝λ(a·b)＝ a·(λb)(λ为实数 )；

(3)( a＋ b) ·c＝a·c＋ b·c.

5． 平面向量数量积有关性质的坐标表示

设向量 a＝ (x1， y1 )， b＝ (x2， y2)，则 a·b＝ x1x2＋ y1y2，由此得到 (1)若 a＝ (x， y)，则 |a|2＝ x2＋ y2 或 |a|＝ x2＋ y2.

→

(2)设 A(x1， y1)，B(x2， y2)，则 A、B 两点间的距离 |AB|＝ |AB|＝

x2－ x1 ＋ y2－ y1 .

(3)设两个非零向量 a，b， a＝ (x1， y1)， b＝ (x2， y2)，则 a⊥ b? x1x2＋y1y2＝ 0.

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