探究三角形的面积计算教学案例

探究三角形的面积计算教学案例

山东日照市第四实验小学（276800）赵萍

［摘

要］从教材的主题图得到灵感，结合学生的已有知识和经验，组织学生自主探究三角形的面积计算问题，使学生参与知

识形成的过程，在自由的互动与交流中实现知识与能力的同步发展。

［关键词］三角形；面积；计算；教学案例［中图分类号］G623.5

［文献标识码］A

［文章编号］1007-9068（2020）26-0060-03

【课题确立】

“三角形的面积”是人教版教材第九册的教学内容，笔者从教材的主题图得到灵感，再加上学生已经经历了将平行四边形转化成长方形的过程，积累了研究平面图形面积计算的经验。因此，笔者让学生自主探究三角形的面积计算问题，使学生在知识形成的过程之中实现知识与能力的同步发展。

【课前分组】

教学新课的前三天，笔者向学生呈现了三角形的面积主题图，然后抛出问题。学生兴致高涨，跃跃欲试。他们动手拼、折过后，展开了激烈的争论。通过研究，学生展示了很多种转化方法，他们将两个三角形分别拼成了平行四边形、正方形、长方形。笔者对

学生所展示的转化方法进行了梳理，并根据他们的探

究思路，把他们分成不同的学习小组，让每组学生在已有的探究成果基础上，进一步深入地研究、整理，最后总结并写出小组研究的过程。其间，笔者本着大胆放手、主动指导的原则，对每个小组都进行了针对性的指导，同时关注每个小组的进展，做到心中有数。

【教学过程】一、情境创设，新课导入师：同学们，在之前的学习中，我们已经掌握了哪些平面图形的面积计算法呢？

生1：长方形。生2：正方形。生3：平行四边形。己的思路与想法。即使有些与教学内容偏离，教师也应保护学生不完美的创作，注意给学生板演预留空间，控制时间，尽可能呈现其思维成果，为教学增添了活力生机。

［参

考

文

献］

晰，是通过计算组合图形的面积让学生学会如何计算和分割。公式部分留白，省略了三角形及正方形的面积公式，教师让学生思考后上台来板演公式内容，一方面可让学生在做题时巩固前几节课学过的公式，另一方面加强了学生的整体参与度。板书是教师教学生习得知识的手段，本质上要让学生学会并且能够灵活运用知识，因此教师在板演时需要通过留白给学生提供更多的展示机会。

总体而言，板书留白给了学生更多思维锻炼的机会，课堂中由教师主导但是以学生为主体，本质上课堂是让学生学会更多知识并且开阔学生视野，所以教师应更多地去展示学生的思路而不是灌输给学生知识内容。一堂优秀的数学课离不开板书，从班级授课制诞生的那一天开始，就有了板书，距今已有几百年的历史。创设更加利于教学的板书成了教育者的不懈追求，而板书留白增加了板书整体的活力，因此一份好的板书需要留白，当然教师还要根据教学内容以及影响教学的因素对板书进行适当留白，教师会收到来自学生的各式各样的答案，这些答案包含着学生自

［1］郜莉.中国画“留白”的艺术特色［J］.美与时代（中），2017

（8）.

［2］徐燕.板书设计在小学语文课堂教学中的作用［J］.读与

写（教育教学刊），2019（8）.

［3］郭巍.永不凋零的初中数学板书之花［J］.数学教学通讯，

2019（2）.2011（8）.

【本文系国家社科基金教育学一般项目“计量分析视角下的民国前期中央教育行政研究”（BOA180050）的阶段性成果。】

［4］全君君.语文课堂板书的留白艺术［J］.文学教育（上），

（责编黄春香）

小学教学参考数学2020·960师：这些图形的面积怎么求？（学生口答：1.长×宽；2.边长×边长；3.底×高）你们还记得是如何研究出平行四边形的面积计算公式吗？（教师明确答案：采用转化法）接下来，让我们一起探究三角形的面积是如何计算的吧！之前老师已经安排你们探究了这个课题，你们准备得怎么样了？

二、成果展示，探究汇报

各学习小组分别利用实物投影展示探究成果。学生分组汇报后，其他小组提出疑问，汇报小组负责释疑。

李奕轩组：我们组研究的是长方形、正方形、平行四边形的面积与三角形的面积之间的关系。首先，将长方形、正方形、平行四边形沿其对角线对折，再用彩笔画出折痕，得到两个形状、大小完全一样的三角形如图1），有同学想提问吗？

图1

还可以沿另一组对角线折一折、画一画（如图2）：

图2

接着，量得长方形的长为20厘米，宽为10厘米，长方形的面积=长×宽=20×10=200（平方厘米），每个三角形的面积是200÷2=100（平方厘米）。我们发现，三角形的面积是长方形面积的一半。然后，量得正方形的边长为20厘米，正方形的面积=边长×边长=20×20=400平方厘米（平方厘米））。我们发现，，每个三角形的面积是三角形的面积是正方形面积400÷2=200

的一半。最后，量得平行四边形的底为30厘米，高为15厘米）厘米，，每个三角形的面积是平行四边形的面积=底450÷2=225×高=30×15=450（平方厘米）（平方。我们发现，三角形的面积等于平行四边形面积的一半。

师：有什么新发现吗？

李奕轩：因为长方形、正方形是特殊的平行四边形，所以可以将上述三种情形都归结为“三角形的面积等于平行四边形面积的一半”。

……

【设计思路】通过动手操作，复习旧知，为新知的探索做好思路和方法上的铺垫。

陈一丹组：我们把两个相同的锐角三角形组合在一起，拼出一个平行四边形（如图3），这个平行四边形的面积是两个锐角三角形的面积之和，每一个锐角三角形的面积是拼出的平行四边形面积的一半，所以我们得出“三角形的面积=底×高÷2”。

教学实践

图3

宋佳轩组：我们用两个完全一样的直角三角形拼

出了平行四边形（如图4）。平行四边形的面积是两个直角三角形的面积的和，而且每一个直角三角形的面积是平行四边形面积的一半，所以我们得出“三角形的面积可以通过底乘高除以2来计算”。

图4

张皓组：我们组选取的是两个一模一样的钝角三角形，并且用它们拼成了一个平行四边形（如图5），拼出的平行四边形的面积是两个钝角三角形的面积的和，每一个钝角三角形的面积是拼出的平行四边形面积的一半，所以，我们组得出的结论是“三角形的面积等于底乘高再除以2”。

图5

【设计思路】分组汇报探究过程，有利于学生理顺思路和提升语言表达能力。

三、分组交流，总结提高师：你们竟然找出了这么多的方法来探究三角形的面积公式，很不错！接下来，让我们把相关方法都总结一下，看看它们有什么相同之处（都采用转化方法）。能用已经掌握的知识来解决新的问题，充分体现同学们的创新精神，请用你最喜欢的方法完成三角形的面积探究，并在小组内交流讨论。

师：不管是什么三角形，只要它们完全相同，那么就能拼成一个平行四边形。其中一个三角形的面积是该平行四边形面积的一半。

师：这样的话，我们是不是可以理解为，只要随便取来一个三角形，它的面积就是平行四边形面积的一半呢？

（教师展示一个较小的三角形和一个较大的平行四边形的纸板）

生行四边形的底和高相等，4：我发现问题了！只有三角形的底和高跟平

上面说的情况才能成立。

师：不错！你已经发现了问题的关键所在。师：我们通过说一说、摆一摆，明确了三角形的面积如何算。那计算三角形的面积时有公式吗？

生5：S=底×高÷2或S=ah÷2。师：生5学会了用字母表示公式，真棒！接下来，

61小学教学参考数学2020·9（（教学实践

老师还有几个问题想请你们帮忙解决。为什么想获得三角形面积，必须要用底乘高呢？底乘高表示什么呢？为什么要除以2？

生6：因为只有两个完全相同的三角形才可以拼出一个平行四边形，而且平行四边形的面积是底乘高；一个平行四边形的面积由两个三角形的面积组成，所以要除以2。

【设计思路】通过课堂小结，让学生进一步加深对三角形面积公式的理解，为接下来实际问题的解决打好基础。

（教师讲解教材第92页的知识拓展部分，多媒体出示第92页的“你知道吗”）

师：古代数学家非常了不起，可老师觉得咱们能力也很出众，小小年纪也就找到了三角形面积的计算方法，来，给自己点个赞！接下来有没有信心将知识应用于生活？

生【设计思路7：有。

】将知识拓展延伸，培养学生的爱国主义情怀，增强他们学习数学的热情和信心。

四、实际运用，大显身手1.师：红领巾的面积计算

计算红领巾的面积需要知道什么？

生8：红领巾的底和高。

（课件展示例2“红领巾的底是100厘米，高是33厘米，那么它的面积是多少平方厘米？”。学生自主练习，教师巡视指导，集体讲评订正。）

2.师：警示牌的面积计算

乘坐汽车时，我们经常注意到路边的各种警示牌（出示标识有“5分米”“8分米”“10分米”的一个三角形的警示牌，图略），哪位同学能计算一下这个警示牌的面积？应该如何计算呢？

生9：5×8÷2=20（平方分米）。师：大家都是这样计算的吗？为什么不用5×10÷2来计算呢？

生10：因为10分米不是5分米对应的高。师：如果与10分米对应的底边是4分米（课件出示）的话，那怎样列式呢？

生11：10×4÷2。

师：在计算三角形的面积时，必须找准相互对应的底和高，才能利用三角形面积的计算公式来计算面积。

3.师：画三角形看到同学们这么有智慧，（面积相等）小天使也向你们求

助了。

小学教学参考数学2020·962师（出示问题）：观察课件中的图片，你能画出和它们面积相等的三角形吗？

（学生用方格纸画三角形）

师：你画出了几个同样的三角形？如果一直这样画下去，你能画出多少个这样的三角形？

生12：无数个。

师：通过动手画一画，你有新的发现吗？生13：三角形的面积与形状无关，只跟它的底和

高有关。

【设计思路】设计阶梯形的练习，既强化了学生对三角形面积计算公式的理解与应用，又渗透了交通安全教育。

五、课程总结，成果交流

师：经过这节课的学习，你收获了什么？让我们来交流一下吧！

生14：我学会了计算三角形的面积。生15：数学就在我们的身边，只要有善于观察和发现的眼睛，我们也能做“大文章”。

生16：我掌握了三角形的面积公式。

生17：那些勇敢表达自己观点的同学真让我佩服

……

【教学反思】

三角形的面积计算主要是引导学生通过三角形面积公式的推导过程去理解和掌握三角形的面积计算公式，并能运用所学知识解决相关的实际问题。在这之前，学生已经探究过平行四边形的面积计算，因此，在教学时，教师要积极强调“学”的过程，引导学生将已有的学习经验付诸实践，自主探索新的问题，进而把学习的主动权交给学生，让学生在动手操作中获得启发。教师应仔细观察，适时点拨，真正突出学生在学习过程中的主体地位。

本堂课是分组探究学习，学生都经历了课前收集和整理资料、课上交流汇报的过程，但是个别学生由于能力有限，只能扮演旁听者。如何让这部分学生施展自己的特长，让能力强的学生提高兴趣是值得深思的，同时学生的自主学习能力的培养也应高度重视。

学生汇报三角形面积公式的环节中，只让几位学生代表本小组汇报了三角形面积公式的推导过程，忽略了大部分学生的表达欲望，使得一部分学生对三角形面积公式的推导还不能很好地进行口头表达，这是该课最大的弊端，也是今后研究的方向。教育道路还很长，让我们与学生共同成长。

（责编

黄春香）