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北京市大兴区2019-2020学年高二上学期期末考试数学理试卷 Word版含答案

来源:花图问答
北京市大兴区2019-2020学年上学期期末考试

高二数学理试卷

本试卷共4页,150分。考试时长120分钟。考生将答案答在答题卡上。

第一部分 (选择题 共50分)

一、选择题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。 (1)若命题p是假命题,命题q是真命题,则

(A)pÙq是真命题 (B)pÚq是假命题 (C)Øp是假命题 (D)Øq是假命题

(2)在正方体ABCD-AⅱBCⅱD中, 异面直线A¢B和D¢A所成的角是 (A)90 (B)60 (C)45 (D)30

(3)“A=3”是“直线Ax-2y-1=0与直线6x-4y+C=0平行”的 (A)充分必要条件 (B)充分不必要条件 (C)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件 (4)某几何体的三视图如图所示,该几何体的侧面积 (A)2 (B)3 (C) 4 (D)5

2222(5)原点O(0,0)与点A(-4,2)关于直线l对称,则直线l的方程是 (A)x+2y=0 (B)2x-y+5=0 (C)2x+y+3=0 (D)x-2y+4=0

(6)若直线x-y-m=0被圆x+y-8x+12=0所截得的弦长为22,则实数m的 值为

(A)2或6 (B)0或8 (C)2或0 (D)6或8 (7) 下列命题中,真命题的个数是

①若直线a,b和平面满足a//,b//,则a//b.

②若直线l上有无数个点不在平面内,则l//.

③若平面^平面,平面^平面g,则平面//平面g.

④如果平面不垂直于平面,那么平面内一定不存在直线垂直于平面. (A)0 (B)1 (C)2 (D)3

22y2=1的两个焦点是F1,F2,点P在椭圆上,且PF1^F1F2,那么|PF2|= (8)若椭圆x+22(A)2 (B)4 (C)532 (D)2 22(9)如图,在平行六面体ABCD-AⅱBCⅱD中,若AB=aAD=b,AA¢=c,则BM=

1111(A)-a+b+c (B)a+b+c

22221111(C)-a-b+c (D)a-b+c

2222

(10)若直线a//平面,直线bÌa,a^b,则在平面内

到直线a和直线b距离相等的点的轨迹是 (A)圆 (B)抛物线 (C)椭圆 (D)双曲线

AD'MA'B'C'DBC第二部分 (非选择题 共100分)

二、填空题共6小题,每小题5分,共30分。

(11)命题“\"x?R,x-x+1>0 ”的否定是 . (12)已知空间向量a=(2,0,1),b=(-2,1,0),那么cos= .

2y2=1的右焦点坐标是 ;焦点到渐近线的距离为 . (13)双曲线x-32(14)如图,当抛物线形拱桥的拱顶距水面2米时,测得水面宽4米.

若水面下降0.5米,则水面宽 米.

(15)如图,透明塑料制成的长方体ABCD-AⅱBCⅱD内灌进一些水,固定容器底面一边BC与地面上,再

将容器倾斜.随着倾斜度的不同,有下面四个命题:

①有水的部分始终呈棱柱形,没水的部分也始终呈棱柱形; ②棱AⅱD始终与水面所在平面平行; ③水面EFGH所在四边形的面积为定值; ④当容器倾斜如图3所示时,BE×BF是定值. 其中正确命题的序号是 .

(16)已知曲线C:|x|+|y|=m(m>0).

(1)若m=1,则由曲线C围成的图形的面积是 ;

x2y2+=1有四个不同的交点,则实数m的取值范围是 . (2)曲线C与椭圆

94三、解答题共6小题,共70分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 (17)(本小题14分)

已知抛物线y=4x与直线y=x-1交于A,B两点,. (I)求该抛物线的焦点坐标及准线方程;(II)求线段AB的长.

(18)(本小题14分)

已知圆C与x轴的交点分别为A(-1,0),B(3,0),且圆心在直线2x-y=0上. (I)求圆C的标准方程;

(II)求与圆C相切于点B(3,0)的切线方程;

(III)若圆C与直线y=x+m有公共点,求实数m的取值范围.

(19)(本小题14分)

如图,在正方形AG1G2G3中,点B,C分别是G1G2,G2G3的中点,点E,F分别是G3C,AC的中点,现在沿AB,BC及AC把这个正方形折成一个四面体,使G1,G2,G3三点重合,重合后记为G. (I)判断在四面体GABC的四个面中,哪些面的三角形是直角三角形,若是直角三角形,写出其直角(只

需写出结论);

(II)求证:AG^BC

(III)请在四面体GABC的直观图中标出点E,F,求证:平面EFB^平面GBC.

AGG3

EF

C

CA G1G2BB2

(20)(本小题14分)

如图,在四棱锥P-ABCD中,侧棱PD^底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,AB//CD,

作EF^PB交PB于点F.(I)求证: PB^平面DEF;PD=AD=AB=1,CD=2,点E是PA的中点,

(II)求二面角E-PB-D的大小;

(III)在DC上是否存在一点G,使PG//平面EDB,若存在,求出DG的长;若不存在,说明理由. P

F E

CD

AB

(21)(本小题14分)

x2y26已知椭圆C:2+2=1(a>b>0)的长轴长为4,离心率为. 3ab(I)求椭圆C的方程;

(II)试判断命题“若过点M(1,0)的动直线l交椭圆于A,B两点,则在直角坐标平面上存在定点N,使

得以线段AB为直径的圆恒过点N”的真假,若为真命题,求出定点N的坐标;若为假命题,请说

明理由.

北京市大兴区2019-2020学年上学期期末考试

高二数学理试卷参

第一部分(选择题 共50分)

一、 选择题共10小题,每小题5分,共50分。

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B C C B A B D A D 第二部分(非选择题 共100分) 二、填空题共6小题,每小题5分,共30分。

(11) xR, x2x1≤0 (12) 45 (13) (2,0) ;3 (14) 25 (15) ①②④ (16) 2; 2m3 ,或 m13 注:第15题只写2个答案且都是正确答案得3分.

第13,16题第一个空填对得2分,第二个空填对得3分. 第16题第二个空只写一部分答案且正确得1分.

三、解答题共5小题,共70分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 (17) (本小题14分)

解: (Ⅰ)抛物线的焦点坐标为(1,0), ………………3分

准线方程为 x1. ………………6分

(Ⅱ)由方程组 y24xx1

y可得 x26x10 ………………8分 由求根公式得 x1x26,x1x21 ………………9分 法一:

设A(x1,y1),B(x2,y2),

|AB|(x1x22)(y1y2)2 (x21x2)[(x11)(x21)]22|x1x2| ……………12分 2[(x1x2)24x1x2]8 ……………14分

法二:

直线yx1过焦点,A,B到准线的距离分别为dA,dB.

由抛物线定义可知 |AB||AF||BF|d1d2x1x22 ……………12分 于是 |AB|628 ………………14分

(18) (本小题14分)

解: (Ⅰ) 因为圆C的圆心在直线2xy0上,所以设圆心C(a,2a). ………………1分

又因为圆C与x轴的交点分别为A(1,0),B(3,0),所以a1………………2分

故 圆心C(1,2), 半径为22, ………………4分 圆C的标准方程为(x1)(y2)8 ………………5分 (Ⅱ) 因为CB与切线垂直,所以kBCk1 ………………7分

因为 kBC22201 , 所以 k1 ………………8分 13故与圆C相切于点B(3,0)的切线方程为:xy30 ………………10分 (Ⅲ)圆C与直线yxm有公共点,

即圆C的圆心到直线的距离d≤r , ………………11分 即 |12m|≤22, ………………13分 2解得 -3≤m≤5

所以 圆C与直线yxm有公共点,则-3≤m≤5. ………………14分

(也可以用图形观察法得出结论,酌情给分)

(19) (本小题14分)

解: (Ⅰ) 在正方形AG1G2G3中,G1,G2,G3都是直角.

沿AB,BC及AC把这个正方形折成四面体GABC后,此三个角度数不变. 即 在四面体GABC的四个面中, G在AGB中, AGB90,

AC在AGC中, AGC90,

B在BGC中, BGC90,

ABC不是直角三角形. ………………4分

故 分别在平面AGB,平面AGC和平面BGC的三角形是直角三角形.

(Ⅱ) 证明:在四面体GABC中, AGB90,AGC90,

即 AGGB,AGGC, ………………5分 因为在平面BGC中,GBGCG ………………6分

所以 AG平面BGC. ………………7分 因为BC平面BGC

所以 AG^BC ………………9分

(Ⅲ) 在四面体GABC的直观图中标出点E,F, ………………11分

证明:因为在AGC中, 点E,F分别是GC,AC的中点,

所以EF//AG ………………12分 由(Ⅱ)已证 AG平面BGC

故EF平面BGC ………………13分 因为EF平面EFB

所以平面EFB^平面GBC ………………14分

(20) (本小题14分)

解:(Ⅰ) 证明: 因为PD底面ABCD,DA面ABCD,DC面ABCD,

所以PDDA,PDDC.

又因为四边形ABCD是直角梯形,AB//CD, AB1,CD2, 所以ADDC

如图建立空间直角坐标系Dxyz, ………………1分 zP11则E(,0,),P(0,0,1),B(1,1,0)

2211F………………3分 DE(,0,),PB(1,1,1), E2211因为DEPB11010 22CD所以DEPB ………………4分 又因为已知EFPB AB在平面DEF中,DEEFE ………………5分 x所以PB平面DEF.

(Ⅱ) 由(Ⅰ) 已证PB平面DEF,

因为DF面DEF, 所以DFPB 已知EFPB,

故EFD是二面角EPBD的平面角. ………………6分

y设点F(x,y,z),则PF(x,y,z1) 因为PFkPB

所以(x,y,z1)k(1,1,1)(k,k.k)

即 xk,yk,z1k,F(k,k,1k)

11FE(k,k,k)

22因为EFPB

所以EFPB0

所以(1,1,1)(k,k,k)k所以k121211kk3k100 221112,点F(,,), ………………7分 333311又因为点E(,0,),

22111所以FE(,,) ………………8分

636111112(,,)(,,)FEFD3331, 636因为cosEFD2|FE||FD|6663所以EFD60, ………………10分 由题知二面角EPBD的平面角为锐角,所以二面角EPBD的大小为60. (Ⅲ)当DC的中点为点G时,满足PG//平面EDB.

因为底面ABCD是直角梯形,AB//CD, ABAD1,CD2 所以DG1,且四边形ABGD为正方形.

连接AG交DB于O,则O为AG中点. 连接EO

所以在PAG中, 点E,O分别是PA,AG的中点,

所以EO//PG ………………11分 因为EO平面EDB,

PG平面EDB ………………13分 所以PG//平面EDB.且DG1. ………………14分

(21) (本小题14分)

解: (Ⅰ) 因为长轴长为4,离心率为6, 3所以2a4,ec6, ………………2分 a3所以c26, 3又因为abc,所以b22224, ………………3分 3x23y2+=1所以椭圆C的方程 ………………4分 44

(Ⅱ) 真命题.

由椭圆的对称性知,点N在x轴上,设N(t,0), ………………5分 ①当直线AB的斜率存在时,设其方程为yk(x1),设A(x1,y1),B(x2,y2),

由yk(x1),2得(13k2)x26k2x3k240. x3y24 所以 4(9k24)0

x6k23k241x213k2,x1x213k2, 因为以线段AB为直径的圆过点N,

所以ANBN, 所以

y1xty2x1 12t则(x1t)(x2t)y1y20

所以(x21t)(x2t)k(x11)(x21)0,

所以(1k2)xx2221x2(1x2)(kt)tk0, 23k2k)413k26k2(113k2(k2t)t2k20 46tk2t23t2k20 3tk2(t2)(t24)0 (t2)(3tk2t2)0

所以若以线段AB为直径的圆恒过点N(t,0), 则t20,即t2,

………………6分 ………………7分

………………8分 ………………10分

………………11分 所以当直线AB的斜率存在时,存在N(2,0)使命题是真命题 …………12分 ②当直线AB的斜率不存在时,其方程为x1.

A(1,1),B(1,1)

以线段AB为直径的圆的方程为(x1)2y21, 因为N(2,0)满足方程(x1)2y21,

所以当直线AB的斜率不存在时,点N(2,0)也能使命题是真命题. 综上①②知 ,存在点N(2,0),使命题是真命题. 14分 ………

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