= .2y2=1的右焦点坐标是 ;焦点到渐近线的距离为 . (13)双曲线x-32(14)如图,当抛物线形拱桥的拱顶距水面2米时,测得水面宽4米.
若水面下降0.5米,则水面宽 米.
(15)如图,透明塑料制成的长方体ABCD-AⅱBCⅱD内灌进一些水,固定容器底面一边BC与地面上,再
将容器倾斜.随着倾斜度的不同,有下面四个命题:
①有水的部分始终呈棱柱形,没水的部分也始终呈棱柱形; ②棱AⅱD始终与水面所在平面平行; ③水面EFGH所在四边形的面积为定值; ④当容器倾斜如图3所示时,BE×BF是定值. 其中正确命题的序号是 .
(16)已知曲线C:|x|+|y|=m(m>0).
(1)若m=1,则由曲线C围成的图形的面积是 ;
x2y2+=1有四个不同的交点,则实数m的取值范围是 . (2)曲线C与椭圆
94三、解答题共6小题,共70分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 (17)(本小题14分)
已知抛物线y=4x与直线y=x-1交于A,B两点,. (I)求该抛物线的焦点坐标及准线方程;(II)求线段AB的长.
(18)(本小题14分)
已知圆C与x轴的交点分别为A(-1,0),B(3,0),且圆心在直线2x-y=0上. (I)求圆C的标准方程;
(II)求与圆C相切于点B(3,0)的切线方程;
(III)若圆C与直线y=x+m有公共点,求实数m的取值范围.
(19)(本小题14分)
如图,在正方形AG1G2G3中,点B,C分别是G1G2,G2G3的中点,点E,F分别是G3C,AC的中点,现在沿AB,BC及AC把这个正方形折成一个四面体,使G1,G2,G3三点重合,重合后记为G. (I)判断在四面体GABC的四个面中,哪些面的三角形是直角三角形,若是直角三角形,写出其直角(只
需写出结论);
(II)求证:AG^BC
(III)请在四面体GABC的直观图中标出点E,F,求证:平面EFB^平面GBC.
AGG3
EF
C
CA G1G2BB2
(20)(本小题14分)
如图,在四棱锥P-ABCD中,侧棱PD^底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,AB//CD,
作EF^PB交PB于点F.(I)求证: PB^平面DEF;PD=AD=AB=1,CD=2,点E是PA的中点,
(II)求二面角E-PB-D的大小;
(III)在DC上是否存在一点G,使PG//平面EDB,若存在,求出DG的长;若不存在,说明理由. P
F E
CD
AB
(21)(本小题14分)
x2y26已知椭圆C:2+2=1(a>b>0)的长轴长为4,离心率为. 3ab(I)求椭圆C的方程;
(II)试判断命题“若过点M(1,0)的动直线l交椭圆于A,B两点,则在直角坐标平面上存在定点N,使
得以线段AB为直径的圆恒过点N”的真假,若为真命题,求出定点N的坐标;若为假命题,请说
明理由.
北京市大兴区2019-2020学年上学期期末考试
高二数学理试卷参
第一部分(选择题 共50分)
一、 选择题共10小题,每小题5分,共50分。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B C C B A B D A D 第二部分(非选择题 共100分) 二、填空题共6小题,每小题5分,共30分。
(11) xR, x2x1≤0 (12) 45 (13) (2,0) ;3 (14) 25 (15) ①②④ (16) 2; 2m3 ,或 m13 注:第15题只写2个答案且都是正确答案得3分.
第13,16题第一个空填对得2分,第二个空填对得3分. 第16题第二个空只写一部分答案且正确得1分.
三、解答题共5小题,共70分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 (17) (本小题14分)
解: (Ⅰ)抛物线的焦点坐标为(1,0), ………………3分
准线方程为 x1. ………………6分
(Ⅱ)由方程组 y24xx1
y可得 x26x10 ………………8分 由求根公式得 x1x26,x1x21 ………………9分 法一:
设A(x1,y1),B(x2,y2),
|AB|(x1x22)(y1y2)2 (x21x2)[(x11)(x21)]22|x1x2| ……………12分 2[(x1x2)24x1x2]8 ……………14分
法二:
直线yx1过焦点,A,B到准线的距离分别为dA,dB.
由抛物线定义可知 |AB||AF||BF|d1d2x1x22 ……………12分 于是 |AB|628 ………………14分
(18) (本小题14分)
解: (Ⅰ) 因为圆C的圆心在直线2xy0上,所以设圆心C(a,2a). ………………1分
又因为圆C与x轴的交点分别为A(1,0),B(3,0),所以a1………………2分
故 圆心C(1,2), 半径为22, ………………4分 圆C的标准方程为(x1)(y2)8 ………………5分 (Ⅱ) 因为CB与切线垂直,所以kBCk1 ………………7分
因为 kBC22201 , 所以 k1 ………………8分 13故与圆C相切于点B(3,0)的切线方程为:xy30 ………………10分 (Ⅲ)圆C与直线yxm有公共点,
即圆C的圆心到直线的距离d≤r , ………………11分 即 |12m|≤22, ………………13分 2解得 -3≤m≤5
所以 圆C与直线yxm有公共点,则-3≤m≤5. ………………14分
(也可以用图形观察法得出结论,酌情给分)
(19) (本小题14分)
解: (Ⅰ) 在正方形AG1G2G3中,G1,G2,G3都是直角.
沿AB,BC及AC把这个正方形折成四面体GABC后,此三个角度数不变. 即 在四面体GABC的四个面中, G在AGB中, AGB90,
AC在AGC中, AGC90,
B在BGC中, BGC90,
ABC不是直角三角形. ………………4分
故 分别在平面AGB,平面AGC和平面BGC的三角形是直角三角形.
(Ⅱ) 证明:在四面体GABC中, AGB90,AGC90,
即 AGGB,AGGC, ………………5分 因为在平面BGC中,GBGCG ………………6分
所以 AG平面BGC. ………………7分 因为BC平面BGC
所以 AG^BC ………………9分
(Ⅲ) 在四面体GABC的直观图中标出点E,F, ………………11分
证明:因为在AGC中, 点E,F分别是GC,AC的中点,
所以EF//AG ………………12分 由(Ⅱ)已证 AG平面BGC
故EF平面BGC ………………13分 因为EF平面EFB
所以平面EFB^平面GBC ………………14分
(20) (本小题14分)
解:(Ⅰ) 证明: 因为PD底面ABCD,DA面ABCD,DC面ABCD,
所以PDDA,PDDC.
又因为四边形ABCD是直角梯形,AB//CD, AB1,CD2, 所以ADDC
如图建立空间直角坐标系Dxyz, ………………1分 zP11则E(,0,),P(0,0,1),B(1,1,0)
2211F………………3分 DE(,0,),PB(1,1,1), E2211因为DEPB11010 22CD所以DEPB ………………4分 又因为已知EFPB AB在平面DEF中,DEEFE ………………5分 x所以PB平面DEF.
(Ⅱ) 由(Ⅰ) 已证PB平面DEF,
因为DF面DEF, 所以DFPB 已知EFPB,
故EFD是二面角EPBD的平面角. ………………6分
y设点F(x,y,z),则PF(x,y,z1) 因为PFkPB
所以(x,y,z1)k(1,1,1)(k,k.k)
即 xk,yk,z1k,F(k,k,1k)
11FE(k,k,k)
22因为EFPB
所以EFPB0
所以(1,1,1)(k,k,k)k所以k121211kk3k100 221112,点F(,,), ………………7分 333311又因为点E(,0,),
22111所以FE(,,) ………………8分
636111112(,,)(,,)FEFD3331, 636因为cosEFD2|FE||FD|6663所以EFD60, ………………10分 由题知二面角EPBD的平面角为锐角,所以二面角EPBD的大小为60. (Ⅲ)当DC的中点为点G时,满足PG//平面EDB.
因为底面ABCD是直角梯形,AB//CD, ABAD1,CD2 所以DG1,且四边形ABGD为正方形.
连接AG交DB于O,则O为AG中点. 连接EO
所以在PAG中, 点E,O分别是PA,AG的中点,
所以EO//PG ………………11分 因为EO平面EDB,
PG平面EDB ………………13分 所以PG//平面EDB.且DG1. ………………14分
(21) (本小题14分)
解: (Ⅰ) 因为长轴长为4,离心率为6, 3所以2a4,ec6, ………………2分 a3所以c26, 3又因为abc,所以b22224, ………………3分 3x23y2+=1所以椭圆C的方程 ………………4分 44
(Ⅱ) 真命题.
由椭圆的对称性知,点N在x轴上,设N(t,0), ………………5分 ①当直线AB的斜率存在时,设其方程为yk(x1),设A(x1,y1),B(x2,y2),
由yk(x1),2得(13k2)x26k2x3k240. x3y24 所以 4(9k24)0
x6k23k241x213k2,x1x213k2, 因为以线段AB为直径的圆过点N,
所以ANBN, 所以
y1xty2x1 12t则(x1t)(x2t)y1y20
所以(x21t)(x2t)k(x11)(x21)0,
所以(1k2)xx2221x2(1x2)(kt)tk0, 23k2k)413k26k2(113k2(k2t)t2k20 46tk2t23t2k20 3tk2(t2)(t24)0 (t2)(3tk2t2)0
所以若以线段AB为直径的圆恒过点N(t,0), 则t20,即t2,
………………6分 ………………7分
………………8分 ………………10分
………………11分 所以当直线AB的斜率存在时,存在N(2,0)使命题是真命题 …………12分 ②当直线AB的斜率不存在时,其方程为x1.
A(1,1),B(1,1)
以线段AB为直径的圆的方程为(x1)2y21, 因为N(2,0)满足方程(x1)2y21,
所以当直线AB的斜率不存在时,点N(2,0)也能使命题是真命题. 综上①②知 ,存在点N(2,0),使命题是真命题. 14分 ………