。华瑞芬 求解有关三角形的问题时，常常需要川到正 弦定娌、余弦定理及ｉ们彤的内角和定理等知识， 将已 条件巾的边的关系转化为角的三角函数关 系式，或将角的＿二角函数关系转化为边的关系式， 从而顺利获解 下面举例说明较为常用的ＪＬ种转 化思路及解题技巧。 一、将角的正（余）弦关系式转化为边的关系式 ｎ：求解自’荚边的： 『ｆＪ形问题时，常常需要运Ｈ｛ 正（余）弦定理，将已知条件｝十】的角的ｌ二角雨数天系 式转化为边的关系式。 例１ ＡＡＢＣ中，内角 、ｃ的对边Ｋ分刖 为Ⅱ、ｂ、ｆ・，Ｌ 知Ⅱ 一ｃ ＝２ｂ，Ｆｌ ｓｉｎＡｃｏｓＣ＝３ｃｏｓＡ ｓｉ ｒｌＣ． 求６ 、 分析 这足一道求边长的试题，运川正弦定 理、余弦定理将已知条件『ｆ１ ｆ『１的三角函数天系式 “ｓｉＭｃｏｓＣ：３ｃｏｓＡｓｉｎＣ”转化为边的芙系式 ““。Ｃ２ｎ． 乏 ＝３．『’厂 ，＾ ．ｃ’’。楚 ’是解题的关 刖天 键 解析在ＡＡＢＣ中，Ｉ 为ｓｉｎＡｃｏｓＣ＝３ｃｏｓＡｓｉｎＣ． 则Ｆ｝＿１ 弦定理和余弦定理有。． — 了＝！～ 一ｂ ＋ｃ 一０ — ：＿ ， 化简并整理得２（“ 一ｃ・ ）＝ｂ 。 义南已知ａ 一ｃ ＝２ｂ，所以４ｂ：ｂ ，解得６＝４ 或ｂ＝０（舍去）。 二、将边的关系式转化为角的三角函数关系式 求解有关角的：ｔ角形问题时，常常需运 正 （余）弦定理．将已如条件巾的边的关系式转化为角 的＝ｉ角函数关系式。 例２ 没ＡＡＢＣ的内角Ａ、Ｂ、Ｃ的对边长分圳为 ｎ、ｂ、ｆ’，ｃ０ｓ（一一Ｃ）＋ｃｏｓＢ＝÷，ｂ ＝ａｃ，求曰 分析要求角的＿人小，可运用正弦定理将已知 ３０ ，ｔ．２０１６１．１上旬刊 的边的关系“ｂ ＝ ・”转化为角的正弦关系“ｓｉｎ１ ＝ ｓｉｎＡｓｉｎＣ”，这是顺利求解今题的关键。根扒 角形 内角和定理及诱导公式，将“ ｓ 转化为一 ，ｓ（ ４＋ ｃ），这足简捷求解本题的 一个天键 ： 解析据题意可知， ｓ（Ａ—Ｃ）一（ （，Ｉ＋ ）＝ ÷，ｎ１１（ｃｏｓＡｃｏｓＣ＋ｓｉｎＡｓｉｉｉＣ）一（ｃｏｓＡ｛ｏｓＣ— ｓｉｎＡｓｊＩｌｃ）＝÷，即有ｓｉｎＡ １ｃ＝ ３ 义 为＾：＝Ⅱｃ， 所以Ｓｉｌｌ２Ｂ＝ｓｉｒｒ４ｓｉｎＣ＝÷，，昕以 １Ｂ＝譬，所以 Ｂ＝予或 而ｃ ＝丢一㈨ｓ（ 一ｃ）＞０，故 ０＜Ｂ＜ ，所以￡｝＝孚。 例３ 已知ＡＡＢＣ的 边ａ，＾，Ｃ成等 数列， 求Ｙ＝５州｝ＳＡ一４ｃｏｓＡｃｏｓＣ＋５ｃｏｓＣ的值。 分析将条件与求解Ｈ标函数列出进行列‘比， ［２ｂ＝ｎ＋ｃ 已知条件为｛，＝５ｃｏｓＡ一４（１ｏｓＡ（．Ｉ１ｓｃ＋５ｃｏｓＣ，求，的 【＿４＋ ＋ｃ：盯 值。 『１ｆ以看出有以下两个主要差异：（１）条件巾有 边有角，但结论中既没有边也．没有角 、南＿丁－ｉ角函 数的名称不同，故应化边为角（利用正弦定理或余 弦定理）；（２）条件是等世 系，Ｉ１Ｊ‘结论却是一个常 数。由于Ｙ＝５ｃｏｓＡ一４ｃｏｓＡｃｏｓＣ＋５ｃｏｓＣ巾没有侣， 故应消去 ，这就要运用Ａ＋ ＋Ｃ＝盯这・隐含条 件，于是町出现Ａ＋ｃ，因此要川到二俏角的 弦及 和差化积。 解析 南已知条件有２ｂ＝ｎ＋ 则南Ⅱ：弦定理 可得２ｓｉｎＢ＝ｓｉｎＡ＋ｓｉｎＣ。 闲为，４＋曰＋Ｃ＝， ，贝１有２ｓｉｎ（ ＋Ｃ）＝ｓｉｎＡ＋ Ｃ，ｆ￣１］４ｓｊｎ ｃｏｓ ＝２ｓｉｎ 。 因 ｎ ≠ｏ＇删２㈨ｓ …ｓ 。 所以Ｓ ：÷６ ＝ 、 当（．ｏｓＡ≠０时，得ｓｉｎＢ＝２ｓｉ，ｔ４，由正弦定理得 故，。＝５ｃｏｓＡ一４ｔ ｏｓＡ（ ｏｓＣ＋５ ｏｓＣ ＝５（ｃｏｓＡ＋ｃｏｓＣ）一４ｃｏｓＡｃｏｓＣ ６：２ｎ，由 Ｃ： 之 ，得ｎ ＋６ 一ｎｂ＝４， ＝ｌ ｏｓ 一２Ｅ （ ＋ｃ）＋㈣（ —ｃ）］ ＝１０ｃｏｓ ｃｏｓ －２『２ ２ Ａ＿＋Ｃ＋ ＿＿＝ 联立方程组｛ａ６， 一Ⅱ ＝４，解得。： ， ２ ，解得Ⅱ 孚， ：。２。。 ｚ 一２１：４。 所以 ．＝ 孥 三、三角形内角和之间的转化 例６ 已知锐角Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ是变化的角， 满 根据三角形内角和定理及已知条件，用已知角 来表示待求角，也是解答ｉ角形问题常用的思想方 法。 足 ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＝１８（）。，求函数ｌｖ＝ｓｉｒｒ４ｓｉｎＢｓｉｎＣｓｉｎＤ 的最大值。 分析 为ｒ简化解题过程．町先“退”一步，将 多个变角后“退”，以减少角的个数 例４－￣．ＡＡＢＣ （ｃ一，４）＝１，ｓｉｎ日＝÷， 求ｓｉＭ的值。 分析南ｓｉｎ（Ｃ—ｄ）＝１知Ｃ—ｌ４＝ ，又Ａ＋Ｂ ＋Ｃ＝竹，根据上面两个结论，可以Ⅲ已知角Ｂ来表 解设Ａ，Ｂ足锐『『】，ｆ１．Ａ＋Ｂ＝Ｐ（Ｐ为定值，０ ＜Ｐ＜１Ｔ），苑求 数’－＿ｓｉｎＡｓｉ，ｉＢ的最大值 南 ： （，】一４）：一 ｔ ｓ（２Ａ—Ｐ）一ｃ。ｓＰｌ 当Ｈ＿仅当Ａ＝等．Ｄ ｕ９ ＝Ｂ＝—｝时，Ｄ ），取最大值ｓｉｎ ÷。王） 示待求角Ａ，即Ａ： ＂ＩＴ一 Ｂ，将求ｓ．ｆ１４的值转化为求 据此可引起对原题的猜想，其结沦应该是：当凡仪 Ａ 【＝（詈一 Ｂ）的值。 解析 由Ｃ—Ａ＝ ，ｆｊ．Ｃ＋，｛＝丌一 ，所以Ａ＝ Ｂ＝Ｃ＝Ｄ＝４５。时 般最大 ｓｉｎ ４５。：÷ ｑ－ 对结论的证叫（反 法），即证明若Ａ，Ｂ，ｃ，Ｄ 不相等，则函数，一ｓｉｎＡｓｉｎＢｓｉｎＣｓｉｎＤ的值就小是最 大。事实上，若Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ 相等，不妨设Ｉ４≠曰， 寻一譬，昕以ｓｉ－ ＝ｓ （寻一芋）： （ｃ。ｓ 一 先同定Ｃ，Ｄ的值小变．使／１． 变化，则有 ＋Ｂ＝ ｓｉｎ Ｂ）ｌ８Ｏ。一（Ｃ＋Ｄ）为定值，Ｒ．０＜１８０。一（Ｃ＋Ｄ）＜ 所以ｓｉｎ２Ａ：÷（１一 ＝了１。Ｙ－Ｎ Ｎ ，１８０。。 ｓｉ ＞０，所以ｓｉｎＡ：，＿／＾３ ．由于『，１≠Ｂ， 此口Ｉ如ｓ ４ｓｉｎＢ不是最大， 而 例５在ＡＡＢＣ中．内角Ａ、Ｂ、Ｃ的对边分别为 ｎ、ｂ、ｃ，已知ｃ＝２，Ｃ＝ ，ｓｉｎＣ＋ｓｉｎ（Ｂ—Ａ）＝ ２ｓｉｎ２Ａ，求ＡＡＢＣ的商干｝｛ 函数１一ｓｉＭｓｉｎＢｓｉｎＣｓｉｎＤ的值不是最大，从而证明 对原问题的结论猜想是＿Ｉ＿Ｉ＝确的 ， 练习 １．没锐角△．４ＢＣ的内们 ４、Ｂ、Ｃ的对边分别为 ａ、ｂ、Ｃ，ａ＝２ｂｓｉｎＡ，刚 Ｂ＝ 。 分析若将ｃ＝｛ 接代人已知等式得“，—／ ３＋ ２．存△ ｃ叶１，角ｌ１ｌ、Ｂ、Ｃ所对的边分别为Ⅱ、ｂ、 若（、／３ ｂ一（－）ｃｏｓＡ＝小Ｎ）ｓＣ，则（，ｏｓＡ＝ 。 ｓｉｎ（Ｂ—Ａ）＝２ｓｉｎ２Ａ”，再进一步化简解答会非常困难。 ｃ，３．存ＡＡＢＣ ｆｆ１，内们Ａ、Ｂ、Ｃ的对边分别为ａ、ｂ、 若将已知等式中的“ｓｉｎＣ”转化为“ｓｉｎ（Ａ＋Ｂ）”化简求 解将会容易得多，这也是顺利求解本题的关键。 解析南题意得，ｓｉｎ（Ａ＋Ｂ）＋ｓｉｎ（Ｂ—Ａ）＝ ４ｓｉｎＡｃｏｓＡ，即ｓｉｎＢｃｏｓＡ＝２ｓｉｎＡｃｏｓＡ ＇ ｃ，已知ｎ、＾、ｒ成等比数列，Ｉ１ Ｂ：｝，求ｃ。ｔＡ＋ ｃｏｔＣ。 。ｓ ＝０时， ＝詈，曰＝詈，ｎ＝竽，６＝ １．詈２．丛３ ３．４丁Ａ－ ２√３ ３ ’ ． 参考答案 （作者单位：安徽省灵璧县黄湾中学） ３ｌ 中｛ 友．２０１６１１上旬刊
