新定义函数-中考新题型

函数图形变换 方法总结： 1．掌握函数平移的规律，包括一次函数、反比例函数和二次函数； 2．确定函数的特征点为基准移动函数，并确定移动后的解析式； 3．根据题目要求结合函数性质解决问题。 axk例1．我们规定：形如y(a、b、k为常数，且kab)的函数叫做“奇特函数〞.当xbaxkkab0时，“奇特函数〞y就是反比例函数y(k0). xbx〔1〕假如矩形的两边长分别是2和3，当这两边长分别增加x和y后，得到的新矩形的面积为8 ，求y与x之间的函数关系式，并判断这个函数是否为“奇特函数〞； 〔2〕如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为〔9，axk0〕、〔0，3〕．点D是OA的中点，连结OB，CD交于点E，“奇特函数〞y的图象x6经过B，E两点. ①求这个“奇特函数〞的解析式； 3②把反比例函数y的图象向右平移6个单位，再向上平移 个单位就可得到①x中所得“奇特函数〞BE中点M的一条直线l与这个“奇特函数〞的图象交于P，Q两点，假16如以B、E、P、Q为顶点组成的四边形面积为10，请直接写出点P的坐标． 3

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例2．定义{a，b，c}为函数y=ax+bx+c的“特征数〞．如：函数y=x-2x+3的“特征数〞是{1，-2，3}，函数y=2x+3的“特征数〞是{0，2，3}，函数y=-x的“特征数〞是{0，-1，0}

2

2

3〔1〕将“特征数〞是0,,1的函数图象向下平移2个单位，得到一个新函数，这个新函3数的解析式是y3x1； 3〔2〕在〔1〕中，平移前后的两个函数分别与y轴交于A、B两点，与直线x3分别交于D、C两点，判断以A、B、C、D四点为顶点的四边形形状，请说明理由并计算其周长； 1〔3〕假如〔2〕中的四边形与“特征数〞是1,2b,b2的函数图象的有交点，求满足条2件的实数b的取值X围．

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word 变式

如果二次函数的二次项系数为l，如此此二次函数可表示为y=x+px+q，我们称[p，q]为此

2

函数的特征数，如函数y=x+2x+3的特征数是[2，3]．

(1)假如一个函数的特征数为[-2，1]，求此函数图象的顶点坐标． (2)探究如下问题：

①假如一个函数的特征数为[4，-1]，将此函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，求得到的图象对应的函数的特征数．

②假如一个函数的特征数为[2，3]，问此函数的图象经过怎样的平移，才能使得到的图象对应的函数的特征数为[3，4]？

2

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例3．如图1，抛物线y=ax2+bx+c〔a＞0〕的顶点为M，直线y=m与x轴平行，且与抛物线交于点A，B，假如△AMB为等腰直角三角形，我们把抛物线上A，B两点之间的局部与线段

AB围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形，线段AB称为碟宽，顶点M称为碟顶，点M到线

段AB的距离称为碟高． 〔1〕抛物线y12x对应的碟宽为 ；抛物线y=4x2对应的碟宽为 ；抛物线y=ax22〔a＞0〕对应的碟宽为；抛物线y=a(x-2)2+3〔a＞0〕对应的碟宽为；

52〔2〕抛物线yax4ax〔a＞0〕对应的碟宽为6，且在x轴上，求a的值；

3〔3〕将抛物线y=anx2+bnx+〔an＞0〕的对应准蝶形记为Fn〔n=1，2，3…〕，定义F1，F2，…，

Fn为相似准蝶形，相应的碟宽之比即为相似比．假如Fn与Fn﹣1的相似比为

1，且Fn的碟顶2是Fn﹣1的碟宽的中点，现将〔2〕中求得的抛物线记为y1，其对应的准蝶形记为F1． ①求抛物线y2的表达式；

②假如F1的碟高为h1，F2的碟高为h2，…Fn的碟高为hn，如此hn=，Fn的碟宽有端点横坐标为2；假如F1，F2，…，Fn的碟宽右端点在一条直线上，请直接写出该直线的表达式；假如不是，请说明理由。

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例4．如图①，直线l：y=mx+n〔m＜0，n＞0〕与x，y轴分别相交于A，B两点，将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△COD，过点A，B，D的抛物线P叫做l的关联抛物线，而l叫做P的关联直线．

2

〔1〕假如l：y=-2x+2，如此P表示的函数解析式为 ；假如P：y=-x-3x+4，如此l表示的函数解析式为．〔2〕求P的对称轴〔用含m，n的代数式表示〕；

〔3〕如图②，假如l：y=-2x+4，P的对称轴与CD相交于点E，点F在l上，点Q在P的对称轴上．当以点C，E，Q，F为顶点的四边形是以CE为一边的平行四边形时，求点Q的坐标； 〔4〕如图③，假如l：y=mx-4m，G为AB中点，H为CD中点，连接GH，M为GH中点，连接

OM．假如OM=10，直接写出l，P表示的函数解析式．

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参： 例1【解析】 〔1〕y573x22x9，是 “奇特函数〞；〔2〕①y；②(7,5)或3,或15,或(5,1). 33x2x63x2，根据定义作出判断. x2〔2〕①求出点B，D的坐标，应用待定系数法求出直线OB解析式和直线CD解析式，二者联axk立即可得点E的坐标，将B〔9，3〕，E〔3，1〕代入函数y即可求得这个“奇特函x6数〞的解析式. ②根据题意可知，以B、E、P、Q为顶点组成的四边形是平行四边形BPEQ或BQEP，据此求出点P的坐标. 试题分析：〔1〕根据题意列式并化为y试题解析：〔1〕根据题意，得∵根据定义，〔2〕①由题意得，易得直线OB解析式为，∴.∴是 “奇特函数〞. . ，直线CD解析式为， ， . 6 / 16

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由解得.∴点E〔3，1〕.

将B〔9，3〕，E〔3，1〕代入函数，得，整理得，解

得②∵

.∴这个“奇特函数〞的解析式为

可化为

，

.

∴根据平移的性质，把反比例函数可得到

.∴

的图象向右平移6个单位，再向上平移2个单位就

关于点〔6，2〕对称.

的对称中心.

∵B〔9，3〕，E〔3，1〕，∴BE中点M〔6，2〕，即点M是∴以B、E、P、Q为顶点组成的四边形是平行四边形BPEQ或BQEP. 由勾股定理得，

设点P到EB的距离为m，

∵以B、E、P、Q为顶点组成的四边形面积为∴

∴点P在平行于EB的直线∵点P在

上，

. 上.

， .

∴或.

解得.

∴点P的坐标为或或或.

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考点：1.新定义和阅读理解型问题；2.平移问题；3.反比例函数的性质；4.曲线上点的坐标与方程的关系；5.勾股定理；6.中心对称的性质；7.平行四边形的判定和性质；8.分类思想的应用.

例2【解析】

〔1〕根据函数“特征数〞写出函数的解析式，再根据平移后一次函数的变化情况写出函数图象向下平移2个单位的新函数的解析式．

〔2〕判断以A、B、C、D四点为顶点的四边形形状，可根据一次函数图象向下平移2个单位与原函数图象的关系，得出AB=2，并确定为平行四边形，由直线相交计算交点坐标后，求出线段BC=2，再根据菱形的判定〔邻边相等的平行四边形是菱形〕得出，其周长=2×4=8； 〔3〕根据函数“特征数〞写出二次函数的解析式，化为顶点式为y=〔x-b〕2+，确定二次函数的图象不会经过点B和点C，再将菱形顶点A〔0，1〕，D〔式得出实数b的取值X围． 【解析】 〔1〕y=

〔1分〕“特征数〞是

的函数，

〕代入二次函数解析

即y=

+1，

该函数图象向下平移2个单位，得y=．

〔2〕由题意可知y=

向下平移两个单位得y=

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∴AD∥BC，AB=2． ∵

，

∴AB∥CD．

∴四边形ABCD为平行四边形．

，

得C点坐标为〔∴D〔

〕

，0〕，

由勾股定理可得BC=2

∵四边形ABCD为平行四边形，AB=2，BC=2 ∴四边形ABCD为菱形． ∴周长为8．

〔3〕二次函数为：y=x2-2bx+b2+，化为顶点式为：y=〔x-b〕2+， ∴二次函数的图象不会经过点B和点C． 设二次函数的图象与四边形有公共局部，

当二次函数的图象经过点A时，将A〔0，1〕，代入二次函数， 解得b=-，b=

〔不合题意，舍去〕，

当二次函数的图象经过点D时， 将D〔解得b=

+

〕，代入二次函数， ，b=

〔不合题意，舍去〕，

所以实数b的取值X围：

例3【解析】

．

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试题分析：〔1〕根据定义可算出y=ax〔a＞0〕的碟宽为

2

、碟高为，由于抛物线、碟高为

，由此

可通过平移y=ax2〔a＞0〕得到，得到碟宽为

可得碟宽、碟高只与a有关，与别的无关，从而可得． 〔2〕由〔1〕的结论，根据碟宽易得a的值． 〔3〕①根据y1，容易得到y2．

②结合画图，易知h1，h2，h3，…，hn﹣1，hn都在直线x=2上，可以考虑hn∥hn﹣1，且都过Fn进而可得．画图时易知碟宽有规律递减，由此可得右端点的特点．对于“F1，﹣1的碟宽中点，

F2，…，Fn的碟宽右端点是否在一条直线上？〞，我们可以推测任意相邻的三点是否在一条直线上，如果相邻的三个点不共线如此结论不成立，反之如此成立，所以可以考虑根底的几个图形关系，利用特殊点求直线方程即可． 试题解析：〔1〕4；1；

；

．

∵a＞0，

∴y=ax2的图象大致如下：

其必过原点O，记AB为其碟宽，AB与y轴的交点为C，连接OA，OB． ∵△DAB为等腰直角三角形，AB∥x轴， ∴OC⊥AB，∴∠OCA=∠OCB=

∠AOB=

×90°=45°，

∴△ACO与△BCO亦为等腰直角三角形， ∴AC=OC=BC，

2

∴xA=-yA，xB=yB，代入y=ax， ∴A〔﹣∴AB=

，，OC=

〕，B〔， ．

，得碟宽

为4； 为

；

，

〕，C〔0，

〕，

即y=ax2的碟宽为①抛物线y=

x2对应的a=

②抛物线y=4x2对应的a=4，得碟宽为③抛物线y=ax2〔a＞0〕，碟宽为

；

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④抛物线y=a(x﹣2)2+3〔a＞0〕可看成y=ax2向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到的图形，

∵平移不改变形状、大小、方向，

22

∴抛物线y=a(x﹣2)+3〔a＞0〕的准碟形与抛物线y=ax的准碟形全等， ∵抛物线y=ax2〔a＞0〕，碟宽为

2

，

．

∴抛物线y=a(x﹣2)+3〔a＞0〕，碟宽为〔2〕∵y=ax2﹣4ax﹣∴由〔1〕，其碟宽为∵y=ax﹣4ax﹣∴∴y=

=6，解得A=

2

， ，

的碟宽为6， ， =

(x﹣2)﹣3

=

，

2

x2﹣x﹣

〔3〕①∵F1的碟宽：F2的碟宽=2：1，∴∵a1=∵y=

，∴a2=

．

(x﹣2)2﹣3的碟宽AB在x轴上〔A在B左边〕，

∴A〔﹣1，0〕，B〔5，0〕， ∴F2的碟顶坐标为〔2，0〕，∴y2=

(x﹣2)2．

②∵Fn的准碟形为等腰直角三角形， ∴Fn的碟宽为2hn， ∵2hn：2hn﹣1=1：2， ∴hn=

hn﹣1=()2hn﹣2=(．

)3hn﹣3=…=()n+1h1，

∵h1=3，∴hn=

∵hn∥hn﹣1，且都过Fn﹣1的碟宽中点，

∴h1，h2，h3，…，hn﹣1，hn都在一条直线上， ∵h1在直线x=2上，

∴h1，h2，h3，…，hn﹣1，hn都在直线x=2上， ∴Fn的碟宽右端点横坐标为2+

．

另，F1，F2，…，Fn的碟宽右端点在一条直线上，直线为y=﹣x+5． 分析如下：

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考虑Fn﹣2，Fn﹣1，Fn情形，关系如图2，

Fn﹣2，Fn﹣1，Fn的碟宽分别为AB，DE，GH；C，F，I分别为其碟宽的中点，都在直线x=2上，连接右端点，BE，EH．

∵AB∥x轴，DE∥x轴，GH∥x轴， ∴AB∥DE∥GH，

∴GH平行且等于FE，DE平行且等于CB，

∴四边形GFEH，四边形DCBE都为平行四边形， ∴HE∥GF，EB∥DC， ∵∠GFI=

∠GFH=

∠DCE=∠DCF，

∴GF∥DC，∴HE∥EB，

∵HE，EB都过E点，∴HE，EB在一条直线上， ∴Fn﹣2，Fn﹣1，Fn的碟宽的右端点是在一条直线， ∴F1，F2，…，Fn的碟宽的右端点是在一条直线． ∵F1：y1=

(x﹣2)﹣3准碟形右端点坐标为〔5，0〕， (x﹣2)准碟形右端点坐标为〔2+

2

2

F2：y2=，〕，

∴待定系数可得过两点的直线为y=﹣x+5，

∴F1，F2，…，Fn的碟宽的右端点是在直线y=﹣x+5上．

考点：1、等腰直角三角形；2、二次函数的性质；3多点共线

例4解析：

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参考题目： 1．如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经过点A、C、B的抛物线的一局部C1与经过点A、D、B的抛物线的一局部C2组成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线称为“蛋线〞，点C的坐标为〔0，3〕，2点M是抛物线C2：y=mx2-2mx-3m(m<0)的顶点. 〔1〕求A、B两点的坐标； 〔2〕“蛋线〞在第四象限内是否存在一点P，使得∆PBC的面积最大？假如存在，求出∆PBC面积的最大值；假如不存在，请说明理由； 〔3〕当∆BDM为直角三角形时，请直接写出m的值.(参考公式：在平面直角坐标系中，假如M(x1,y1)，N(x2,y2)，如此M、N两点间的距离为MN=. ；〔3〕-1或-. 〔1〕A〔-1，0〕，B〔3，0〕；〔2〕存在，【解析】 试题分析：〔1〕将y=mx2-2mx-3m化为交点式，即可得到A、B两点的坐标； 14 / 16 word

〔2〕先用待定系数法得到抛物线C1的解析式，过点P作PQ∥y轴，交BC于Q，用待定系数法得到直线BC的解析式，再根据三角形的面积公式和配方法得到△PBC面积的最大值；

〔3〕先表示出DM2，BD2，MB2，再分两种情况：①DM2+BD2=MB2时；②DM2+MB2=BD2时，讨论即可求得m的值．

试题解析：〔1〕y=mx2-2mx-3m=m〔x-3〕〔x+1〕， ∵m≠0，

∴当y=0时，x1=-1，x2=3， ∴A〔-1，0〕，B〔3，0〕；

〔2〕设C1：y=ax2+bx+c，将A、B、C三点的坐标代入得：

，解得，

故C1：y=x2-x-．

依题意，设点P的坐标为〔n，n2-n-〕(0如此S∆PBC=S∆POC+S∆BOP-S∆BOC =××n+×3×(-n2+n+)-×3× =-(n-)2+∵-＜0,

∴当n=时S∆PBC的最大值是

〔3〕y=mx2-2mx-3m=m〔x-1〕2-4m，顶点M坐标〔1，-4m〕， 当x=0时，y=-3m，

∴D〔0，-3m〕，B〔3，0〕，

∴DM2=〔0-1〕2+〔-3m+4m〕2=m2+1， MB2=〔3-1〕2+〔0+4m〕2=16m2+4， BD2=〔3-0〕2+〔0+3m〕2=9m2+9，

当△BDM为Rt△时有：DM2+BD2=MB2或DM2+MB2=BD2． ①DM2+BD2=MB2时有：m2+1+9m2+9=16m2+4， 解得m=-1〔∵m＜0，∴m=1舍去〕； ②DM2+MB2=BD2时有：m2+1+16m2+4=9m2+9， 解得m=-〔m=

舍去〕．

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综上，m=-1或-时，△BDM为直角三角形．

，

〕

2．对于平面直角坐标系xOy中的点P〔a，b〕，假如点的坐标为〔〔其中k为常数，且

〕，如此称点为点P的“k属派生点〞．

例如：P〔1，4〕的“2属派生点〞为〔1+，〔1〕①点P的“2属派生点〞

〕，即〔3，6〕．

的坐标为____________；

②假如点P的“k属派生点〞 的坐标____________；

的坐标为〔3，3〕，请写出一个符合条件的点P〔2〕假如点P在x轴的正半轴上，点P的“k属派生点〞为点，且△

等腰直角三角形，如此k的值为____________； 〔3〕如图, 点Q的坐标为〔0，点A是点B的“

〕，点A在函数

为

的图象上，且

属派生点〞，当线段BQ最短时，求B点坐标．

〔1〕①

；②〔1，2〕〔答案不唯一〕；〔2〕；〔3〕.

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