2011届徐汇区一模数学理

学习能力诊断卷 （理科试卷）

（考试时间：120分钟，满分150分） 2011.1

一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。

1、方程4x2x20的解是 。 2、设集合Ax|0,Bx|x1，则AB 。 2xx3、已知圆x24x4y20的圆心是点P，则点P到直线xy10的距离是 。 4、若sin35，则行列式

cossinsincos 。

5、已知向量a(2,3),b(4,7)，则向量b在向量a的方向上的投影为 。

6、已知无穷等比数列an的各项和为4，则首项a1的取值范围是 。 7、若函数f(x)(xa)(bx2a)（常数a,bR）是偶函数，且它的值域为(,4]，则该函数的解析式f(x) 。

8、一颗骰子投两次, 记第一次得到的数值为a, 第二次得到的数值为b, 将它们作为关于x、y的二元一次方程组axby3，x2y2的系数, 则方程组有唯一解的概率为 。（用数字作答）

9、已知函数yf(x)存在反函数yfyf11(x)，若函数yf(x1)的图象经过点(3,1)，则函数

(x)的图象必经过点 。

210、若函数f(x)lg(xax1)在区间(1,)上是增函数，则a的取值范围是 。 11、若(13x)2010a0a1xa2xa2x20102010(xR)，则

a13a2322a201032010 。

12、已知x是1，2，3，x，5，6，7这七个数据的中位数，且1，3，x,y这四个数据的平均数为1，则y1x的最小值为 。

13、设a,bR,且b1。若函数yax1b的图象与直线yx恒有公共点，则a,b应满足的条件是 。

1

222214、设数列an是公差不为零的等差数列，前n项和为Sn，满足a2a3a4a5,S77，则使

得

amam1am2为数列an中的项的所有正整数m的值为 。

二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分。

15、已知a，b都是实数，则“ab”是“a2b2”的（ ） （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件

（C）充分必要条件 （D）既不充分又不必要条件

1021110的一个法向量的是（ ） 116、以下向量中，能成为以行列式形式表示的直线方程xy（A）n1,2 （B）n1,2 （C）n2,1 （D）n2,1

17、定义平面向量之间的一种运算“*”如下：对任意的a(m,n),b(p,q)，令a*bmqnp。

给出以下四个命题：（1）若a与b共线，则a*b0；（2）a*bb*a；（3）对任意的R，2222有(a)*b(a*b)；（4）(a*b)(ab)ab。（注：这里ab指a与b的数量积）

则其中所有真命题的序号是（ ）

（A）（1）（2）（3） （B）（2）（3）（4） （C）（1）（3）（4） （D）（1）（2）（4）

18、函数yeeeexxxx的图像大致为 ( )

y 1y y 1O 1y x O 1x O x O x

A B C

D

2

三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。

19．（本题满分12分）第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分。

在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且sinCcosBsinBcosC3sinAcosB。

（1） 求cosB的值；（2）若BABC2，且b22，求a和c的值。

20．（本题满分12分）第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分。

设函数f(x)xax1,x0,。

（1）当a2时，求函数f(x)的最小值；

（2）当0a1时，试判断函数f(x)的单调性，并证明。

21．（本题满分14分）第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分。

2已知关于x的不等式(kxk4)(x4)0，其中kR。

（1）求上述不等式的解；

（2）是否存在实数k，使得上述不等式的解集A中只有有限个整数？若存在，求出使得A中

整数个数最少的k的值；若不存在，请说明理由。

3

22．（本题满分18分）第（1）小题满分5分，第（2）小题满分7分，第（3）小题满分6分。 各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，满足2(Sn1)an2an(nN*)。 （1）求数列an的通项公式； （2）若数列bn满足b12,bn12bn(nN)，数列cn满足

*an,n2k1*数列cn的前n项和为Tn，求Tn； cn(kN)，

b,n2kn（3）若数列Pnn24甲同学利用第（2）问中的Tn，24n(nN)，

*试图确定T2kP2k(kN*)的值是否可以等于2011？为此，他设计了一个程序（如图），但乙同学认为这个程序如果被执行会是一个“死循环”（即程序会永远循环下去，而无法结束），你是否同意乙同学的观点？请说明理由。

23．（本题满分18分）第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分6分。 圆锥曲线上任意两点连成的线段称为弦。若圆锥曲线上的一条弦垂直于其对称轴，我们将该弦

MN称之为曲线的垂轴弦。已知点P(x0,y0)、M(m,n)是圆锥曲线C上不与顶点重合的任意两点，

是垂直于x轴的一条垂轴弦，直线MP、NP分别交x轴于点E(xE,0)和点F(xF,0)。 （1）试用x0,y0,m,n的代数式分别表示xE和xF；

xa22y M P O N F E x （2）若C的方程为yb221(ab0)（如图），

求证：xExF是与MN和点P位置无关的定值；

（3）请选定一条除椭圆外的圆锥曲线C，试探究xE和

xF经过某种四则运算（加、减、乘、除），其结果是否是与MN和点P位置无关的定值，写出你

的研究结论并证明。

（说明：对于第3题，将根据研究结论所体现的思维层次，给予两种不同层次的评分）

4

2010学年第一学期徐汇区高三年级数学学科

流水号 题号 满分 得分 一 56 二 20 19 12 20 12 学习能力诊断（理科）答题卷 2011.1 21 14 22 18 23 18 总分 150

请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 一、填空题（本大题共14题，每题4分，满分56分）

1. 2. 3. 4. __ 5. _ 6. 7. __ 8. _ 9. 10. 11. 12. 13. 14.

二、选择题（本大题共4题，每题5分，满分20分）本大题必须使用2B铅笔填涂 15．[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 16．[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 17．[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 18．[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 三、解答题（本大题共5题，满分74分） 19．[解] （1） （2）

5

20．[解] （1） （2） 21．[解] （1） （2）

6

22．[解] （1） （2） （3） 7

23．[解] （1） （2） （3）

8

2010学年第一学期徐汇区高三年级数学学科

学 习 能 力 诊 断 卷 理科试卷参考答案及评分标准（2011.1）

一． 填空题：

1．x0 2．(1,2 ) 3．

22725 4.

1112 5．13

6．(0,4)(4,8) 7．f(x)2x24 8．

11．1 12．823 9．(1,4 ) 10． a0

13．b1,a1或b1,a1 14． 2

二．选择题： 15．D 16．A 17．C 18．B 三．解答题:

19．解：（1）由sinCcosBsinBcosC3sinAcosB

得sinBC3sinAcosB „„2分

A，0 „„5分 因为A、B、C是ABC的三内角，所以sinBCsin 因此 cosB13 „„6分

1 （2）BABCBABCcosBac2，即ac6 „„8分

322 由余弦定理得b2a2c22acos，所以Bac12， „„10分

ac6 解方程组2，得ac2ac126 „„12分

2x120．解：（1）当a2时，f(x)x2x1x11 „„„„„. 2分

221 „„„„„. 4分

当且仅当x12x1，即x21时取等号，∴f(x)min221 „„„„„. 6分

（2）当0a1时，任取0x1x2

af(x1)f(x2)(x1x2)1 „„„„„. 8分

(x11)(x21)1∵0a1，(x11)(x21)1，∴

a(x11)(x21)9

0 „„„„„. 10分

∵x1x2，∴f(x1)f(x2), 即f(x)在0,上为增函数 „„„„„. 12分 21．解： （1）当k0时，A(,4)； „„„„„„2分 当k0且k2时，kA(,4)(k4k2k4„„„„„„4分

,)；„„„„„„„„5分

当k2时，A(,4)(4,)；（不单独分析k2时的情况不扣分） 当k0时，A(k4k,4).„„„„„„.7分

（2） 由（1）知：当k0时， A中整数的个数为无限个；„„„„„„..9分

当k0时，A中整数的个数为有限个， „„„„„11分

因为k4k4，当且仅当k2时取等号，„„„„„12分

所以当k2时，A中整数的个数最少。„„„„„.14分

222．解：（1）n1,2(S11)a1a1a12„„„„„. 2分

n2,2(Sn1)anan2(Sn11)an1an12222，两式相减，得2ananan1anan1

an0,anan11„„„„„. 4分

an为等差数列，首项为2，公差为1ann1(nN)„„„„„. 5分

*n* （2）bn是首项为2，公比为2的等比数列，bn2(nN)„„„„„. 7分

n为偶数时，Tn(a1a3an1)(b2b4bn)„„„„„. 8分

(a1an1)nn224(14)n2n4(2n1)„„„„„. 10分

14432 2 n为奇数时，TnTn1cn „„„„„. 11分

(n1)2(n1)4n4n34222 4n1(21)(n1) 3n1 13243„„„„„. 12分

(3）n2k为偶数,Tn

n2n443(21)，Pnnn2424n

10

设dnABTnPn432n472n43„„„„„. 13分

dn2dn2n247，„„„„„. 15分

d4d6d8d102011d12d14,且d22011 dn2011,即TnPn2011(n为偶数）„„„„„. 17分 乙同学的观点正确。„„„„„. 18分

23． （1）因为MN是垂直于x轴的一条垂轴弦，所以N(m,n) 则lMP:yny0nx0m „„„„„. 2分 (xm) 令y0,则xEmy0nx0y0nmy0nx0y0n„„„„„. 4分

同理可得：xF，„„„„„. 6分

（2）由（1）可知：xExF2222my0nx0y0n222222„„„„„. 8分

M,P在椭圆C：

xayb21上，nb(122ma22),y0b(122x0a22)，

mb(122x0 则xExFb(12a2x0a22)b(1)b(122m22a2ma2)x0)2b(mx0)ba22222a（定值）

2(mx0)22xExF是与MN和点P位置无关的定值 „„„„. 12分

（3）第一层次：

①点P是圆C：xyR上不与坐标轴重合的任意一点，MN是垂直于x轴的垂轴弦，直线

MP、NP分别交x轴于点E(xE,0)和点F(xF,0)，则xExFR。„„„„„. 16分

2222证明如下：由（1）知： xExFmy0nx0y0n222222

222222222 M,P在圆C：xyR上，nRm,y0Rx0，

11

则xExFm(Rx0)(Rm)x(Rx0)(Rm)22222222220R(mx0)(mx0)22222R

2xExF是与MN和点P位置无关的定值

②点P是双曲线C：

xa22yb221(a0,b0)上不与顶点重合的任意一点，MN是垂直于x轴

的垂轴弦，直线MP、NP分别交x轴于点E(xE,0)和点F(xF,0)，则xExFa2。„„„„„. 16分

证明如下：由（1）知： xExF2222my0nx0y0n222222

M,P在双曲线C：

xayb1上，nb(22ma221),y0b(22x0a221)，

mb(22x02 则xExFb(2a2x0a221)b(1)b(22m22a2ma21)x01)2b(x0m)ba22222a

2(x0m)22xExF是与MN和点P位置无关的定值

第二层次：

点P是抛物线C：y22px(p0)上不与顶点重合的任意一点，MN是垂直于x轴的垂轴弦，直线MP、NP分别交x轴于点E(xE,0)和点F(xF,0)，则xExF0。„„„„. 18分 证明如下：由（1）知： xExF22(my0nx0)y0n2222，

M,P在抛物线C：y2px(p0)上，y02px0,n2pm

2(my0nx0)y0n222222则xExF2(m2px02pmx0)y0n220

xExF是与MN和点P位置无关的定值

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