高考导数专题(含详细解答)

导数的运算

1. 几种常见的函数导数： ①、c （c为常数）； ②、(xn) （nR）； ③、(sinx)= ；④、(cosx) = ； ⑤、

(ax) ； ⑥、(ex) ； ⑦、(logax) ； ⑧、(lnx) .

2. 求导数的四则运算法则：

v'uuv'uvuuvu(uv)uv；(uv)uvuv；)( (v0)注：① u,v必须是可导函数. 22vvvv

'3. 复合函数的求导法则： fx((x))f(u)•(x) 或 yxyu•ux

一、求曲线的切线（导数几何意义）

导数几何意义：函数y1.曲线

f(x0)表示函数yf(x)在点(x0，f(x0))处切线L的斜率；

f(x)在点(x0，f(x0))处切线L方程为yf(x0)f(x0)(xx0)

在点B:

处的切线方程为（ ）。

C:

D:

A:

答案详解B正确率: 69%, 易错项: C

解析:本题主要考查导数的几何意义、导数的计算以及直线方程的求解。 对程为

求导得

即

，代入

得

即为切线的斜率，切点为

，所以切线方

。故本题正确答案为B。

2.

变式一：

第 1 页 共 34 页

3.设函数f(x)g(x)x，曲线yg(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y2x1，则曲线yf(x)在点(1,f(1))处切线的斜率为 A．4 B．

( )

211 C．2 D．42

4.已知函数f(x)在R上满足f(x)2f(2x)x8x8，则曲线yf(x)在点(1,f(1))处的切线方程是

( )

2A.y2x1 B.yx C.y3x2 D.y2x3

变式二：

5.在平面直角坐标系xoy中，点P在曲线C:yx10x3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的

斜率为2，则点P的坐标为 .

3第 2 页 共 34 页

6.设曲线yxn1(nN*)在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为xn,令anlgxn，则a1a2La99的

值为 .

4上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是 xe133 A、[0,) B、[,) C、(,] D、[,)

4224447.已知点P在曲线y=

第 3 页 共 34 页

变式三：

8. 已知直线y =x＋1与曲线yln(xa)相切，则α的值为( )

A.1 B. 2 C.－1 D.－2

第 4 页 共 34 页

9.若存在过点(1,0)的直线与曲线yx和yax2

315x9都相切，则a等于 4

( )

A．1或-25217257 B．1或 C．或- D．或7 6444644

110.若曲线yx在点a,a2处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则a

12A、64 B、32 C、16 D、8

11.（本小题满分13分） 设f(x)ae1b(a0).（I）求f(x)在[0,)上的最小值； xae3（II）设曲线yf(x)在点(2,f(2))的切线方程为yx；求a,b的值.

2x第 5 页 共 34 页

12.若曲线

fxax2Inx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是 .

二、求单调性或单调区间

1、利用导数判定函数单调性的方法：设函数yf(x)在某个区间D内可导， 如果f(x)＞0，则yf(x)在区间D上为增函数； 如果f(x)＜0，则yf(x)在区间D上为减函数； 如果f(x)=0恒成立，则yf(x)在区间D上为常数.

第 6 页 共 34 页

2、利用导数求函数单调区间的方法：不等式f(x)＞0的解集与函数yf(x)定义域的交集，就是yf(x)的增区间；不等式f(x)＜0的解集与函数yf(x)定义域的交集，就是yf(x)的减区间. 1、函数f(x)(x3)e的单调递增区间是

x ( )

A. (,2) B.(0,3) C.(1,4) D. (2,)

2.函数f(x)x15x33x6的单调减区间为 .

32

3.已知函数

，

的定义域是的判别式 ，即

，讨论，所以有。

时， 对一切

的单调性。

。设

，

答案详解由题意，

二次方程的当是增函数； 当

都有。此时，在上

时，，此时在上也是增函数；

第 7 页 共 34 页

当，，

，即。

时，方程有两个不同的实根，，

此时

在

上单调递增，在

上单调递减，在

上单调递增。

解析:本题主要考查导数在研究函数中的应用。 本题的难点在于参数分类的讨论，如何做到不重不漏。 首先在定义域的情况下，对函数

求导，在求极值的过程中，会涉及到二次方程的根个数问

题，要针对判别式进行分类讨论，在极值为两个的情况下，讨论其与定义域的关系，并根据导数与函数增减性的关系，列表求得函数增减性。

4. 已知函数

的切线的斜率；（Ⅱ）当

答案详解（Ⅰ）当

。（Ⅰ）当时，求曲线在点处

时，求函数

，

的单调区间与极值。

，故

。所以曲线

在点

时，

处的切线的斜率为。 （Ⅱ）

以下分两种情况讨论： （1）若

，则

。当变化时，

的变化情况如下表：

。令

，解得

或

，由

知，

。

第 8 页 共 34 页

所以极大值

在

， 且

。

内是增函数，在；函数

在

内是减函数；函数处取得极小值

在处取得

，且

（2）若，则。当变化时，的变化情况如下表：

所以极大值

在

，且

内是增函数，在

；函数

在

内是减函数；函数处取得极小值

在，且

处取得

。

解析:本题主要考查利用导数判断函数单调性。 （Ⅰ）求出这种情况下，函数在

处的导数，即为切线斜率。

（Ⅱ）首先求解出极值，然后对参数进行分类讨论，使用列表法，对函数和导数列表，列出函数的单调区间和极值。

三、求函数的极值与最值

1、极值的判别方法：当函数f(x)在点x0处连续时，

① 如果在x0附近的左侧f(x)＞0，右侧f(x)＜0，那么f(x0)是极大值； ② 如果在x0附近的左侧f(x)＜0，右侧f(x)＞0，那么f(x0)是极小值. 也就是说x0是极值点的充分条件为x0点两侧导数异号，而不是f(x)=0.

2、最值的求法：求f (x)在[a，b ]上的最大值与最小值的步骤如下： (1) 求 f (x) 在区间 (a，b) 内的极值(极大值或极小值)；

(2) 将 y = f (x) 的各极值与端点处的函数值 f (a)、f (b) 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个最小值.

注：极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较. 1.设函数f(x)xe，则（ ）

A. x1为f(x)的极大值点 B.x1为f(x)的极小值点 C. x1为f(x)的极大值点 D. x1为f(x)的极小值点

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x答案详解D正确率: 53%, 易错项: B解析:本题主要考查函数极值的计算。

令导函数在

2.函数

求得

上单调递减，在

，且在上小于零，在为的极小值点。

上大于零，则

上单调递增，

f(x)x33x21在x 处取得极小值.

3.（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分.） 设f(x)alnx13x1,其中aR，曲线yf(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于y轴. 2x2（Ⅰ） 求a的值；（Ⅱ）求函数f(x)的极值.

4. (本小题满分13分) 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单

a位：元/千克）满足关系式y10(x6)2，其中3x3售出该商品11千克. （I）求a的值.

（II）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.

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5．请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A,B,C,D重合与图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒.E,F在AB上，是的一个等腰直角三角形斜 边的两个端点，设AEFBx(cm).

（1）某广告商要求包装盒的侧面积S(cm)最大，试问x应取何值？ （2）某厂商要求包装盒的容积V(cm)最大，试问x应取何值？并求出此时的高与底面边长的比值.

32切去阴四个点被切去

包装盒

答案详解（1），所以

时侧面积最大。

（2）增，当

时，递减，所以，当

，所以

。当

时，递

时，最大。此时，包装盒的高与底面边长的比

值为。

解析:本题主要考查函数和配方法求函数最值的方法。

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（1）由图写出侧面积的函数表达式，再对表达式化简、配方，即可求得取最大值对应的值。 （2）由图写出容积的函数表达式，再通过对函数求导，判断函数的单调性，从而求得取最大值对应的值，再求解高与底面边长的比值即可。

四、判断函数的零点

1.函数f(x)=23x的零点所在的一个区间是

A.（－2，－1）； B.（－1,0）； C.（0,1）； D.（1,2）

x答案详解B正确率: 64%, 易错项: C解析:本题主要考查连续函数的性质。

由于是连续函数，且在上单调递增，根据零点附近函数值符号相反，可

采用代入排除的方法求解。 A项B项，C项

，故A项错误； ，则零点定理知，故C项错误；D项

有零点在区间

上，故B项正确； ，故D项错误。综上所述：

符合题意的是B项。故本题正确答案为B。

2.设函数f(x)1xlnx(x0),则yf(x) 3

( )

11ee11C.在区间(,1)内有零点，在区间(1,e)内无零点；D.在区间(,1)内无零点，在区间(1,e)内有零点.

eeA.在区间(,1),(1,e)内均有零点； B.在区间(,1),(1,e)内均无零点； 答案详解D

正确率: 33%, 易错项: C

解析:本题主要考查导数的应用。

定义域为讨论上，

上，

，先对

求导，

，解得，

，

，故

在，故在

单调递减，在

单调递增。

在其上单调，上无零点；讨论

在其上单调，上有零点。

故本题正确答案为D。

易错项分析：零点存在定理不熟悉导致易错；零点存在定理适应于连续函数在给定区间里的零点问题，局限于判断在给定区间是否有零点，而对于在给定的区间有多少个零点却无法处理。

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3.已知函数y＝x3－3x＋c的图像与x轴恰有两个公共点，则c＝

A.－2或2 ； B.－9或3 ； C.－1或1； D.－3或1

答案详解A正确率: 53%, 易错项: C解析:本题主要考查导数在函数中应用。

对函数求导，得到函数的增减性和极值，作出函数图象。由图可知，当函数取极大

，

。

值和极小值时，有两个横坐标与之对应。极大值为2，极小值为－2。可知

故本题正确答案为A。

4. 16分）若函数yf(x)在xx0处取得极大值或极小值，则称x0为函数yf(x) 的极值点. 已知a，b是

实数，1和1是函数f(x)x3ax2bx的两个极值点．

（1）求a和b的值；（2）设函数g(x)的导函数g(x)f(x)2，求g(x)的极值点； （3）设h(x)f(f(x))c，其中c[2，2]，求函数yh(x)的零点个数．

答案详解（1）由题设知，且，，解得

。

（2）由（1）知于是函数当当当

，因为

。

，所以

的根为

，

，

的极值点只可能是或

， ，故时，

是

时，时，或

的极值点，

的极值点，所以

的极值点为

。

，故不是

（3）由（1）知，其函数图象如下图所示，

第 13 页 共 34 页

先讨论

（

）的零点，即的零点为和； 的零点为的零点为

和； ，，

； ，，

，，

三个区间内； 三个区间内。

与

的交点的个数：

时，由图象得时，由图象得时，由图象得时，由图象得时，由图象得

令当

，现在考虑时，

的零点分别在的零点分别在

（

）的零点：

，

，

三

有两个根和，而有三个不同的根，分别在

有个零点。 有三个不同的根，分别在和，故

有个零点。 ，

，，，而

个区间内，当

时，

有两个不同的根和，故有两个根

和，而

，，

三个区间内，当

时，

有两个不同的根

有三个不同的根，，，满足

有个零点。

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（，，）

有三个不同的根，故

综上可知，当时，函数有个零点；当时，函数有个零点。

解析:本题主要考查导数在研究函数中的应用。

（1）对函数求导，代入极值点使该点处导数值为，得到关于（2）由（1）问所得的假后列出结果。

（3）先结合图象分类讨论（

）的零点。

（

）的零点，再令

，分类讨论

，求出

的方程组，解出

的值。

的表达式，令其等于求极值点。验证极值点真

五、导数与图像

1．函数

fxax1xmn在区间0,1上的图象如图所示，则m,n的值可能是

A．m1,n1 B．m1,n2 C．m2,n1 D．m3,n1

2.若函数yf(x)的导函数在区间[a,b]上是增函数，则函数yf(x)在．．．区间[a,b]上的图象可能是

( )

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y y y y o a b x o a o b x a o b x a b x A ． B． C． D．

3.【2010江西理数】如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为StS00，则导函数ySt的图像大致为

'

六、导数与不等式

利用导数求解（证明）不等式 主要方法是：将不等式t(x)g(x)左右两边的多项式移到一边，构造出一个新的函数f(x)t(x)g(x)，通过对f(x)求导，根据f(x)的大小和导数的性质，结合已知条件进行求解或证明. 1.若fxx2x4lnx，则fx＞0的解集为

2第 16 页 共 34 页

A．0, B. 1,02, C. 2, D. 1,0

答案详解C正确率: 50%, 易错项: B解析:本题主要考查导数的运算和不等式的解法。

本题的易错点是容易忽视函数的定义域。

的定义域为

，

，，结合

即解得

。

故本题正确答案为C。易错项分析：本题的易错点是容易忽视函数的定义域，忽视在对数函数中真数要大于的隐含条件，从而在解不等式时出现负数，使函数没有意义，这是解对数不等式以及对数函数有关的问题时常见的错误。

2.函数f（x）的定义域为R，f（－1）=2，对任意x∈R，f(x)2，

则f（x）＞2x＋4的解集为

A.（－1，1） B.（－1，＋） C.（－，－1） D.（－，＋）

ex3.本小题满分12分）设函数f(x)(1) 求函数f(x)的单调区间；

x(x)(2) 若k0，求不等式fk(1x)f(x)0的解集．

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4.设函数

有两个极值点、且，。

（1）求、满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点（2）证明：

。

和区域；

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答案（1），依题意知，方程有两个根，且等

价于

，

，

，

。由此得

满足的约束条件为

满足这些条件的点

的区域为图中阴影部分。

（2）由题设知：

，故

由于

，而由（Ⅰ）知

， 所以

，故

。 ，于是

，

，

又由（1）知

解析本题主要考查导数、线性规划以及方程根的综合运用。

（1）本题应该根据先求出进而便可得出

的导函数，然后再利用二分法得到关于三个参量的不等式，

的取值范围，进而便可作出满足这些约束条件的平面区域。

表示为与其他参量的等式，并利用

，便可得到

（2）该题主要利用已知条件，将

的大致范围，再将其他参量的取值范围代入该式，便可得到欲证结论。

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5. (本题满分12分) 设函数fxx2aIn1x有两个极值点x1、x2，且x1x2 （I）求a的取值范围，并讨论fx的单调性；（II）证明：fx212In2 4a2x22xa1(x1)，令g(x)2x22xa，其对称轴为x. 解: （I）fx2x1x1x2由题意知x1、x2是方程g(x)0的两个均大于1的不相等的实根，其充要条件为48a0，得

g(1)a00a1⑴ 当x(1,x1)时，fx0,f(x)在(1,x1)内为增函数； 2⑵ 当x(x1,x2)时，fx0,f(x)在(x1,x2)内为减函数； ⑶ 当x(x2,)时，fx0,f(x)在(x2,)内为增函数； （II）由（I）g(0)a0,1x20，a(2x22+2x2) 2fx2x22aln1x2x22(2x22+2x2)ln1x2

设hxx(2x2x)ln1x(x)，

2212则hx2x2(2x1)ln1x2x2(2x1)ln1x ⑴ 当x(,0)时，hx0,h(x)在[121,0)单调递增； 2⑵ 当x(0,)时，hx0，h(x)在(0,)单调递减.

1112ln212In2，故fx2h(x2)． 当x(,0)时,hxh()2244126.（本小题满分12分）已知函数f (x)=x－ax＋(a－1)lnx，a1.

2（1）讨论函数f(x)的单调性；（2）证明：若a5，则对任意x1，x2(0,)，x1x2，有

f(x1)f(x2)1.

x1x2a1x2axa1(x1)(x1a))xa解析： (1)f(x)的定义域为(0,). f2分 f(xxxxx

'(x1)2x)（i）若a11，即a2，则ff(x，故f(x)在(0,)单调增加.

x'(ii) 若a11，而a1，故1a2，则当x(a1,1)时，f(x)0； 当x(0,a1)及x(1,)时，f(x)0

故f(x)在(a1,1)单调减少，在(0,a1),(1,)单调增加.

''第 20 页 共 34 页

(iii) 若a11，即a2，同理可得f(x)在(1,a1)单调减少，在(0,1),(a1,)单调增加. (2) 考虑函数 g(x)f(x)x则g(x)x(a1)12xax(a1)lnxx 2a1a12xg(a1)1(a11)2 xx由于1从而当x1x20时有g(x1)g(x2)0，即f(x1)f(x2)x1x20，故

f(x1)f(x2)1，当0x1x2x1x2时，有

f(x1)f(x2)f(x2)f(x1)1·········12分

x1x2x2x1

7.（本小题满分12分）已知函数

f(x)(x33x2axb)ex

（1）如ab3，求f(x)的单调区间；

（2）若f(x)在(,),(2,)单调增加，在(,2),(,)单调减少，证明＜6.

0），（3，）（1）f(x)在(,3),(0,3)单调增加，在（3，单调减.

(2)f'(x)(x3xaxb)e332x(3x26xa)exex[x3(a6)xba].

由条件得：f'(2)0,即22(a6)ba0,故b4a, 从而f'(x)e[x(a6)x42a].因为f'()f'()0,

∴x(a6)x42a(x2)(x)(x)(x2)(x()x).

将右边展开，与左边比较系数得，2,a2.故()4124a. 又(2)(2)0,即2()40.由此可得a6. 于是6.

232x38. （本小题满分100分）已知函数满足。（Ⅰ）求的解析式及

单调区间；（Ⅱ）若

答案详解（Ⅰ）

，求的最大值。

，

令得：。

，

得：，

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在

得：（Ⅱ）①当②当得：当 令

，

当

时，

；则

时，时，

时，

的解析式为

，

上单调递增，

，

，且单调递增区间为

得

在

，

上单调递增，

时，， ，

。

，

，当

的最大值为。

时，

；

，单调递减区间为。

与

矛盾； 。

解析:本题主要考查函数的求导和函数的单调性，利用函数单调性求极值。 （Ⅰ）先对函数求导得间；当

时，

。当

时，

单调递增，求得的的取值范围即为单调增区

单调递减，求得的的取值范围即为单调减区间。

，求导得的极值，求得关于

。讨论在不同取值的情况下函数表达式的取值范围，再构造函数

，

（Ⅱ）构造函数

的单调性，通过求得函数求导取极值，得出

9设

的最大值。

为常数，曲线

与直线

在点

相切。

（1）求的值；（2）证明：当

的图象过

时，点，代入得

。 。

答案详解（1）由

由在处的切线斜率为，又

时，

，故

，得

。

（2）由均值不等式，当记

，则

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令因此因此

在在

，则当

内是减函数，又由内是减函数，又由时，

。

时，，得，得

，所以，

。 ，

于是，当

解析:本题主要考查导数的应用及不等式的证明。 （1）由（2）令

的正负研究

与直线

在点，注意到的单调性。

，一般来说，我们的思路是证明（记

）

且

，然而对本题来说可能比较困难，函数式掺

相切得

过点

，且

，解方程即可求出，。

求导数，通过判断

，可考虑证明单调递减。对

解读第二问欲证的不等式为：

杂了对数和根式，求导计算会比较麻烦，于是我们想到放缩。那么如何放缩呢？对数求导显然比根式求导后的式子简单，于是我们考虑放缩根式，且放缩到求导后形式简洁的式子，一次函数是个理想的函数，这时，想到切线正好是一次的，且不会放缩的过大，于是我们取根式在

处的切线方程

（切线方程是个有力的放缩武器），接下来的证明就十分自然

，则

，不，注

了。如果不用放缩法，也可以化简该不等式，用换元法。我们取等式化为意到

时该式子为零，故有

，即

，求导得

这个因式，通分后对分子因式分解得，有

，可得导数小于零，

从而不等式获证。

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10. （本题满分100分）已知函数

在点

（为常数，是自然对数的底数），曲线的单调区间；

处的切线与轴平行。（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求

（Ⅲ）

答案详解（Ⅰ）由

，其中

，得

为的导函数，证明：对任意

，

。

， 时，

时，

。 ，，

，所以

；

；

，。 在

处

，由于曲线

的切线与轴平行，所以（Ⅱ）由（Ⅰ）得令当因此

时，

，

，又

，因此

，，当，所以

时，；

的单调递增区间为，单调递减区间为，所以

（Ⅲ）因为 因此对任意由（Ⅱ）因此，当所以 设

，故

所以

时，，

，

。

等价于

，

时，。

，

。 单调递减。

，单调递增；当，故

，所以

的最大值为

，因为

时，

时，，

，

，单调递增。

，即

，因此对任意

。

解析:本题主要考查函数的求导和求解函数单调区间。 （Ⅰ）先对函数求导，得导函数（Ⅱ）由

，

，代入切点的横坐标值，即，这时不能直接判断

，可求得

。 ，

；当

。

的正负性，先令

时，

，通过求导判断该函数的单调性，然后可判断得当

时，

，从而判断出

的正负性，即 ，，分析函数

的单调递增区间为

，单调递减区间为

（Ⅲ）由题，可先将所证等价转化为证明

，

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，求导判断其单调性求得

，而

。

七、求参数范围

1.（本小题共13分）设函数

，则，故得证对任意，

f(x)xekx(k0)（Ⅰ）求曲线yf(x)在点(0,f(0))处的切线方程；（Ⅱ）求函

数f(x)的单调区间；（Ⅲ）若函数f(x)在区间(1,1)内单调递增，求k的取值范围. （Ⅰ）yx；（Ⅱ）由ff(x)1kxe0，得xx'kx1k0， k 若k0，则当x,1'时，fx0，函数fx单调递减， k当x1,,时，f'x0，函数fx单调递增， k1'时，fx0，函数fx单调递增， k 若k0，则当x, 当x1,,时，f'x0，函数fx单调递减， k（Ⅲ）由（Ⅱ）知，若k0，则当且仅当且仅当11，即k1时，函数fx1,1内单调递增，若k0，则当k11，即k1时，函数fx1,1内单调递增， k综上可知，函数fx1,1内单调递增时，k的取值范围是1,0U0,1.

ex42．（）设f(x)，其中为正实数（Ⅰ）当时，求f(x)的极值点； aa231ax（Ⅱ）若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围. （Ⅰ）当a列表得

x 4312令f(x)0，则4x8x30.解得x1,x2， 时，3221(,) 2＋ ↗ 1 20 极大值 13(,) 22－ ↘ 3 20 极小值 3, 2＋ ↗ f(x) f(x) ∴x131是极小值点，x2是极大值点. 22第 25 页 共 34 页

1ax22ax（Ⅱ）若f(x)为R上的单调函数，则f(x)在R上不变号，结合f(x)e与条件a>0，

(1ax2)2x2知ax2ax10在R上恒成立，因此4a4a4a(a1)0.由此并结合a>0，知0a1.

23. 已知函数，曲线在点，且

处的切线方程为时，

的斜率为

。

（Ⅰ）求、的值；（Ⅱ）如果当Ⅰ）即

，解得

，

，求的取值范围。 ，且过点

，故

，

，由于直线。 ，所以

，则

，由

；当，即

时，

。 时，，知，当

（Ⅱ）由（Ⅰ）知考虑函数（i）设可得

。

。

时，

， 。而

，故当；从而当

时，，且

时，

，

，可得

（ii）设

时，

（iii）设

。由于当

，可得

，而

，故

，与题设矛盾。

，而，故当

。此时，故当

。

时，，可得，而 ，

与题设矛盾。综合得，的取值范围为

解析:本题主要考查函数求导和函数的单调性，以及分类讨论思想。 （Ⅰ）先对函数

求导，将点

代入到导函数

，得出斜率，又

在直线上，从

而得到两个方程，联立解得的值。

（Ⅱ）本问为不等式与函数的问题，要进行分类讨论，讨论时应注意不要漏情况。首先将不等式转化为求函数极值。即将不等式右边式子左移，得

讨论函数

注意的取值范围。通过分类讨论可得取值范围为解读

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，这里应

。

本题（2）中，若直接对作差后所得的函数求导，形式繁杂，且不易得出导数零点。由于只是判断函数的正负号，可以提出容易判断。

4．本小题满分100分）已知函数

。（1）求

，这样，余下的部分的求导变得简单可行，且的正负

的单调区间；

（2）若对于任意的

答案详解

，都有，求的取值范围。

（1）。令，得。当时，与的情况如下：

所以，当

的单调递增区间是

与

的情况如下：

和

；单调递减区间是

。

时，

所以，（2）当知得

在

的单调递减区间是时，因为上的最大值是。

和

；单调递增区间是，所以不会有，所以

，等价于

。 。当

时，由（1）

，解

解析:本题主要考查函数的求导和函数的单调性问题。 （1）先对函数求导得当

时，

。当

时，

单调递增，求得的的取值范围即为单调增区间；

单调递减，求得的的取值范围即为单调减区间。

的最大值，代入不等式，即可求得的取值范围。

，

，其中

，

（2）利用函数的单调性，求得

5. 本小题满分12分）已知函数

（1）若在处取得极值，求的值；（2）求

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的单调区间；

（3）若的最小值为，求的取值范围。

，所以

。

，

，即，即

时，

在定义域内恒成立，所以函数在

内

内单调递增；

内

，，又

答案详解（1）因为

在（2）令当当

处取得极值，所以

时，在区间，函数递减；在区间

函数递增。 综上所述，当

时，函数在区间

内单调递增；当

时，函数在区间

内

单调递减，在区间（3）当当

时，函数在区间时，函数在区间

内单调递增。

内单调递增，此时内单调递减，在区间

，所以

满足条件；

内单调递增，此时

。

，所以不满足题意，所以的取值范围为

解析:本题主要考查函数与导数的单调性、函数的极值。

（1）对函数求导，在函数极值点处导数有意义时导数为零，然后计算求解；

（2）导数大于零时函数递增，导数小于零时函数递减，然后分类讨论的取值范围进行求解； （3）分两种情况讨论函数的最小值，满足函数最小值为的的取值范围即为解。

6. 设函数

。（1）若

为

的极值点，求实数；

（2）求实数的取值范围，使得对任意的注：为自然对数的底数。

答案详解（1）求导得

，恒有成立。

。

， 或

。 成立。 ，解得

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因为解得

是或

的极值点，所以

，经检验，符合题意，所以时，对于任意的实数，恒有时，由题意，首先有

（2）①当②当

，

由（1）知令

，则

，

，

且又则当即

在在

内单调递增，所以函数，时，

，从而，当；当

时，

在时，

。

内单调递增。 内有唯一零点，

；

内单调递增，在

对

，知

。又在

内单调递减，在

所以要是由

将③代入①得再由③以及函数又②解得，

恒成立，只要成立。

，注意到函数

在。

。

内单调递增，故

。

内单调递增，可得

。所以。

综上，的取值范围为

解析:本题主要考查导数以及不等式的综合运用。（1）本题应该先对函数为

的极值点，所以

时，

，据此便可解的实数的取值范围。 ，所以此时的零点即

求导，又因为

（2）由于当恒成立，所以只需讨论当

的极值点，从而可判断出

时的

情况即可。本题应该先判断出断得

在

内单调递增，在

的单调性。最后判

在

中单调递减，在

处满足

中单调递增。所以应该使得，这样便可解得的取值范围。

时，

该区间内的极大值点

7. 已知

，

，函数

或者在端点

。（1）证明：当

（i）函数（2）若

的最大值为

对

；（ii） 恒成立，求

的取值范围。

；

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答案详解（1）（i）。

，此时

在

上单调递增。 。此时

时，

在

上单调递减，在

上单调

当当

时，有时，

递增。所以当

（ii）由于

，故当

时，

当

时，

设所以，

，则

。所以当。

（2）由（i）知，当则由（ii）知，

时，

。所以

，所以对任意

。若

恒成立的充要条件是

，

时，

。

。故

，即，或，在直角坐标系，做一组平行直线

中，所表示的平面区域

，得

，

为如图所示的阴影部分，其中不包括线段所以

的取值范围是

。

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解析:本题主要考查利用导函数判断函数单调性和利用线性规划求解极值。 （1）（i）先对函数

。

（ii） 分别讨论

和

两种情况下，对

，对其求导，分析其单调性，求得

得（2）列出标函数为

对任意，可求得

。

恒成立的充要条件，画出不等式组的平面区域图，设目的取值范围为

ax求导，得导函数，讨论和两种情况下函数的单调性，求得

进行放缩。再令

。故可

。

8.（本小题满分13分）已知函数f(x)=ex，其中a≠0.(1) 若对一切x∈R，f(x)≥1恒成立，求a的取值集合.(2) 在函数f(x)的图像上取定两点A(x1,f(x1))，B(x2,f(x2))(x1x2)，记直线AB的斜率为K， 问：是否存在x0∈（x1，x2），使f(x0)k成立？若存在，求x0的取值范围；若不存在，请说明理由. 解：（Ⅰ）若a0，则对一切x0，f(x)ex1，这与题设矛盾，又a0，故a0.

ax而f(x)ae1,令f(x)0,得xax11ln. aa111111ln时，f(x)0,f(x)单调递减；当xln时，f(x)0,f(x)单调递增，故当xln时，f(x)aaaaaa11111取最小值f(ln)ln.

aaaaa111于是对一切xR,f(x)1恒成立，当且仅当 ln1. ①

aaa当x令g(t)ttlnt,则g(t)lnt.

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当0t1时，g(t)0,g(t)单调递增；当t1时，g(t)0,g(t)单调递减. 故当t1时，g(t)取最大值g(1)1.因此，当且仅当

11即a1时，①式成立.综上所述，a的取值集合为1. af(x2)f(x1)eax2eax1eax2eax1ax（Ⅱ）由题意知，k1. 令(x)f(x)kae,

x2x1x2x1x2x1eax1eax2a(x2x1)a(x1x2)则(x1) ea(xx)1,(x)ea(x1x2)1212. x2x1x2x1令F(t)et1，则F(t)e1.

当t0时，F(t)0,F(t)单调递减；当t0时，F(t)0,F(t)单调递增. 故当t0，F(t)F(0)0,即et10. 从而ea(x2x1)ttta(x2x1)10，ea(x1x2)a(x1x2)10,

eax1eax2又0,0, ∴(x1)0,(x2)0. x2x1x2x1因为函数y(x)在区间x1,x2上的图像是连续不断的一条曲线，∴存在x0(x1,x2)使

1eax2eax1(x0)0,(x)ae0,(x)单调递增，故这样的c是唯一的，且cln.

aa(x2x1)2ax1eax2eax1故当且仅当x(ln,x2)时， f(x0)k.

aa(x2x1)1eax2eax1综上所述，存在x0(x1,x2)使f(x0)k成立.且x0的取值范围为(ln,x2)

aa(x2x1)9. (本题满分14分) 已知函数f(x)xln(xa)的最小值为0，其中a0.

（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若对任意的x[0,),有f(x)≤kx成立，求实数k的最小值； （Ⅲ）证明

22ln(2n1)2（nN*）. i12i1n、解：（Ⅰ）函数f(x)的定义域为(a,) f(x)xln(xa)f(x)11xa10x1aa xaxa f(x)0x1a,f(x)0ax1a，得

x1a时，f(x)minf(1a)1a0a1

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（Ⅱ）设g(x)kxf(x)kxxln(x1)(x0) 则g(x)0在x[0,+)上恒成立g(x)min0g(0) g(1)k1ln20k0， g(x)2kx1 ①当2k10(k

…………（*）

221x(2kx2k1) x1x1112k)时，g(x)00xx0g(x0)g(0)0与（*）矛盾 22k11 ②当k时，g(x)0g(x)ming(0)0符合（*）， ∴实数k的最小值为

2212（Ⅲ）由（2）得：xln(x1)x对任意的x0值恒成立

2 取x222[ln(2i1)ln(2i1)] (i1,2,3,L,n)：

2i1(2i1)22i12211ln(2n+1)<2当时， i222i1(2i1)2i32i1i=1n 当n1时，2ln32 得：

n 得：

[i121ln(2i1)ln(2i1)]2ln312. 2i12n110.（本小题满分14分）已知二次函数yg(x)的导函数的图像与直线y2x平行，且yg(x)在x1处取得极小值m1(m0)．设f(x)g(x)． x（1）若曲线yf(x)上的点P到点Q(0,2)的距离的最小值为2，求m的值； （2）k(kR)如何取值时，函数yf(x)kx存在零点，并求出零点． （1）依题可设g(x)a(x1)m1 (a0)，则g'(x)2a(x1)2ax2a； 又gx的图像与直线y2x平行 2a2，即a1

22 g(x)(x1)m1x2xm， fx2gxmx2，设Pxo,yo， xxm2m22)2x022m22m22m22|m|2m 则|PQ|x(y02)x(x0x0x0220220m22当且仅当2x2时，|PQ|取得最小值，即|PQ|取得最小值2

x020当m0时，(222)m当m0时，(222)m （2）由yfxkx1kx2 解得m21 2 解得m21

m20(x0)，得1kx22xm0 * x第 33 页 共 34 页

当k1时，方程*有一解xmm，函数yfxkx有一零点x； 22当k1时，方程*有二解44m1k0，

若m0，k1244m(1k)1，函数yfxkx有两个零点x， m2(1k)即x11m(1k)244m(1k)1；若m0，k1，函数yfxkx有两个零点x，

k1m2(1k)11m(1k)1；当k1时，方程*有一解44m1k0， k1，

k1m即x函数yfxkx有一零点x1m k1m； 2综上，①当k1时， 函数yfxkx有一零点x②当k1③当k1

11m(1k)11(m0)，或k1（m0）时，函数yfxkx有两个零点x；

k1mm11时，函数yfxkx有一零点xm. mk1第 34 页 共 34 页