数列极限 数列极限 1. 定义：P37 正确理解数列极限的定义： 1），ε>0的任意给定性。所以，为了方便在不等式xn−a
N时有邻域。 几何解释： ，或xn−a≤εxn−a<ε”是指下标n>N的无穷多项（也就是N以后的所有项）都进入数a的ε 难点：根据定义证明极限的关键在于给了ε，求出相应的N。需要熟练掌握不等式的运算。 有时候，N可以直接从不等式求出。有时候要利用技巧将不等式放大。 任意小，无限大 2. 定理1（极限的唯一性）数列不能有两个极限 3. 定理2（有界性）收敛的数列必有界； 有界的定义：对数列xn, 若存在正数M, 使得一切自然数n, 恒有xn≤M成立, 称数列xn有界;否则, n称为无界。比如几何表示： 数列yn=2，数列xn=nn+1 在数轴上,有界数列的点xn都落在闭区间[-M,M]上. 数列xn有上界,即存在M, 使xn≤M(n=1,2,…)。 数列xn有下界,即存在m,使xn ≥-M(n=1,2,…)。 收敛的数列必有界。 逆否命题，如果数列无界，那么数列必定发散。 问题：如果数列有界，数列一定收敛吗？ 4. 子数列的概念 P41. 注意一定要保持排列顺序与原数列一致。 定理3，如果数列{xn}收敛于a,那么它的任一子数列也收敛，而且极限也是a. 逆否命题:如果数列的两个子数列收敛于不同的极限，或者没有极限，那么数列是发散的。 an=lnn⋅cosnπ,取n=2k,ln2k→+∞(k→+∞). 所以，an没有极限。 证明数列xn=(−1)n是发散的.证明 ∵x2k=1,x2k→1(k→+∞),x2k−1=−1,x2k−1→−1(k→+∞),∴数列xn=(−1)n发散.函数极限 前面讨论了数列xn=f(n)的极限, 它是函数极限中的特殊情形,特殊性在于: n只取自然数,且n趋于无穷大. 现在讨论y =f (x)的极限,自变量x大致有两种变化形式. (1) x→∞; (2) x→x0 . 注意： x不是离散变化的, 而是连续变化的. 1. 定义1（P48）： 设f(x)在当|x|大于某一正数M时有定义,若∀ε>0, 总∃X>0, 使得对于适合不等式|x|>X的一切x,对应的函数f(x)都满足不等式|f(x)−a|<ε. 则称常数a就称为f(x)当x→∞时的极限, x→∞{xn} f(x) limf(x)=a ∀ε ∀ε ∃N,(N>0) 对所有的满足n>N的n,满足 |xn-a|<ε ∃X,(X>0) 对所有的满足|x|>X的x，满足 |f(x)-a|<ε limxn=an→∞ limf(x)=ax→∞ 如果函数只在x>M时有定义，当x→+∞时的极限,记为：x→+∞limf(x)=a 如果函数只在x<-M时有定义，当例题：证明 lim x→+∞x→-∞时的极限,记为：x→−∞limf(x)=a = ax0,其中00,要使ax−0<ε成立 只需使ax<0成立 因为0logεa 所以取X=|logεa|>0 则当x>X时，总满足|ax-0|<ε,即 limax=0x→+∞ 2. 定义2 （P44）： 设f(x)在x0的某个去心邻域Û(x0)内有定义,若∀ε>0, ∃δ>0, 使得满足0<|x−x0|<δ的一切x,相应的函数值f(x)都满足|f(x)−a|<ε ,则称常数a为f(x) 的当x→x0时的极限。 limf(x)=a, 或, f(x)→a,(x→x)x→x00注意：x→x0总表示x无限接近x0,但x ≠ x0 3. 例题：证明 4. 左右极限的概念。在有些情况下，只考虑从x0的某一侧趋于x0的f(x)的极限情况。 定义3：设f (x)在x0的右边附近(左边附近)有定义，若∀ε >0, ∃δ >0. 当01试讨论limf(x)及limf(x)x→1x→−1x−2,当x<1解：函数可以改写为 f(x)=x,当−1≤x≤1x−2,当x>1可以得到x→1+limf(x)=lim(x−2)=−1,limf(x)=limx=1+−−x→1x→1x→1x→1x→1x→1所以，limf(x)≠limf(x)⇒limf(x)不存在+− 同理，可以判断出，limf(x)也不存在x→−1 7. 定理：函数极限的局部有界性 8. 定理：函数极限的局部保号性 §1.5无穷小和无穷大无穷小和无穷大 和无穷大 在研究一个有很多变化状态的变量时，人们往往很关心某一时刻的变化。比如速率。 定义.定义. 若limf(x)=0则称f(x)是该极限过程中的一个无穷小量(省去x→xo,x→∞的极限符号“lim” 表示任意一个极限过程). 例如： ∵lim1x→∞x=0,∴函数1x是当x→∞时的无穷小. 注意：注意：（1） 无穷小量与极限过程分不开穷小量与极限过程分不开, 穷小量与极限过程分不开, 不能脱离, 不能脱离极限过程谈无穷小量不能脱离极限过程谈无穷小量。极限过程谈无穷小量。比如：比如： ∵lim1x→1x=1,∴函数1x不是当x→1时的无穷小. 同样的，你也不能脱离极限过程，自以为是的把一个变量称为无穷小。 （2） “无穷小量”并不是表达量的大小,而是表达它的变化状态的. “无限制变小的量” （3）无穷小是变量,不能与很小很小的数混淆; （4） 零是可以作为无穷小的唯一的数. 1. 无穷小与函数极限的关系 无穷小与函数极限的关系 定理： 2. 无穷大 无穷大 绝对值无限增大的变量称为无穷大. 例如： x→x10时，是无穷大；x→∞时，x2x是无穷大 注意： 1） 无穷大是变量,不能与很大的数混淆 2） 无穷大与无界函数的区别: 无穷大一定是无界函数；但是无界函数未必是某个过程的无穷大. 比如：y=xsin(x)是无界函数，但不是无穷大。 问题：当x0时，y=11sin的情况呢？ x2x判断哪些是无穷大，无穷小： 1sinxx+1x4+2x2−3(1),当x→∞时；（2）,当x→0时；（3）,当x→2时（3）2,当x→1时 x1+cosxx−4x−3x+23. 无穷小与无穷大在自变量的同一变化过程中的关系： 倒数关系 意义：关于无穷大的讨论，都可以转化为无穷小的讨论。 §1.6极限运算法则 极限运算法则 1） 有限个无穷小的积然是无穷小 有限2） 有限个无穷小的和仍然是无穷小 有限3） 常数与无穷小的乘积是无穷小 4） 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 证明： 有界函数，就是说在某个领域内局部有界，|g(x)|0, 上面的两类间断点有一个共同的特点：我们称为第一类间断点 第一类间断点 函数在点x0处的左、右极限都存在. 其他类型的间断点都称为第二类间断点。第二类间断点 1,x>0,讨论函数f(x)=x在x=0处的连续性. x,x≤0,1讨论函数f(x)=sin在x=0处的连续性. x注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点. 练习：练习： §1.10 连续函数的运算与初等函数的连续性1.10 连续函数的运算与初等函数的连续性 连续函数的运算与初等函数的连续性 说明求符合函数的极限时，说明求符合函数的极限时，函数符号与极限符号可以交换次序 定义域和定义区间，自然不是一样的。 1：定义域就是定义域，函数三特性之一。但是其表现形式不见得非要是区间。 2：对于多元函数，是无法表示成区间的（比如二元函数的叫区域），自然那些区间内有效的定理，它断然无效 3：分散点集分散点集，也自然不能写成区间。 分散点集这个概念重要区别在函数连续性中很明显 1：基本初等函数在定义域内连续 2：初等函数在定义区间内连续 比如这么一个函数f(x)=1他定义域是x=1,3,5，也就是说除了这三个分散的点，其他地方根本没有定义，那么这个初等函数在其定义域内是不连续的。他也没有定义区间。但是如果定义域是区间的话，比如x属于［1，2］，那么在这个区间内他又是连续的。 §1.11闭区间上连续函数的性质 闭区间上连续函数的性质 1. 最值定理： 2. 有界性是最值定理的引申 3. 零点定理 （证明或者求解方程） 即方程f(x)=0在(a,b)内至少存在一个实根.4. 介值定理 5. 一致连续性 （提到前面连续性那里说明一下） 注意 1．闭区间；注意闭区间； 2．连续函数．连续函数． 这两点不满足, 上述定理不一定成立．上述定理不一定成立． 例题： 32证明方程x−4x+1=0在区间(0,1)内至少有一根. （1）（2） 小结 基本要求： 例题：
