一、单选题（本大题共10小题，共40.0分） 1.
已知i为虚数单位，复数z满足1+𝑖+(1+𝑖)2𝑧=(1−𝑖)2，则复数z的虚部为( )
A. 2
2.
1
B. 2𝑖
1
C. 2
3
D. −2
3
⃗ −⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( ) 在平行四边形ABCD中，M为DC上任一点，则⃗⃗⃗⃗⃗𝐶𝑀𝐵𝑀−⃗𝐷𝐵
A. ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵
3.
B. ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐶𝐷 ⃗⃗⃗ C. ⃗⃗𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ D. ⃗𝐴𝐷
某学校有小学生126人，初中生280人，高中生95人，为了调查学生的近视情况，需要从他们当中抽取一个容量为100的样本，采用何种方法较为恰当( )
A. 简单随机抽样 B. 系统抽样 C. 分层抽样
D. 先从小学生中剔除1人，然后再分层抽样
4.
12
⃗⃗⃗⃗⃗ ，若M是线段AB𝑂𝐶=3⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐴+3⃗𝑂𝐵已知A，B是圆O：𝑥2+𝑦2=4上的两个动点，|⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵|=2，⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( ) 的中点，则⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐶⋅⃗𝑂𝑀
A. √3
5.
设有两条直线
B. 2√3
和两个平面
则
或则则
则
C. 2 D. 3
，则下列命题中错误的是( )
A. 若B. 若C. 若D. 若
6.
且且且且
某高校调查了100名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30].根据直方图，求出a的值是( )
A. 0.18
7.
已知复数
B. 0.17 C. 0.16
( )
D. 0.15
，是的共轭复数，则
A.
8.
B.
C.
D.
PB、PC两垂直，已知三棱柱𝑃−𝐴𝐵𝐶的各顶点都在以O为球心的球面上，且PA、若𝑃𝐴=𝑃𝐵=𝑃𝐶=2，则球O的表面积为( )
A. 12𝜋
9.
B. 10𝜋 C. 8𝜋 D. 6𝜋
“方程𝑚𝑥2+𝑛𝑦2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的充要条件是( )
A. 𝑚>𝑛>0
10. 设平面向量
，
B. 𝑛>𝑚>0
，若
，则
C. 𝑚𝑛>0
等于( )
D. 𝑚𝑛<0
A. 4 B. 5 C.
D.
二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）
11. 设复数𝑧=𝑎+𝑏𝑖(𝑎,𝑏∈𝑅)在复平面内的对应点为(−1,1)，则|𝑧|=______．
12. 五个数1，2，3，4，a的平均数是3，则𝑎=____，这五个数的标准差是_________． 𝐴𝐷⊥面ABC，13. 已知三棱锥A一BCD所有顶点都在半径为2的球面上，
∠𝐵𝐴𝐶=90°，𝐴𝐷=2，则三棱锥A一BCD的体积最大值为______．
⃗⃗⃗⃗ |=|⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，A，B是平面上三个不同点，14. 已知O，动点P满足|⃗且|⃗⃗⃗⃗⃗ 则⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝐴𝑃𝐵|，𝑂𝐴|=3，|⃗𝑂𝐵𝑂𝑃⋅
⃗⃗⃗⃗⃗ −⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )的值为______ ． (𝑂𝐴𝑂𝐵
三、多空题（本大题共1小题，共5.0分）
𝐴𝐵=𝐴𝐶=2，∠𝐴𝐷𝐶=45°，15. 在△𝐴𝐵𝐶中，点D在BC边上，则AD的长度为 (1) ；𝐵𝐶=2√3，
角𝐶= (2) ．
四、解答题（本大题共6小题，共85.0分） 16. 设存在复数z同时满足下列条件： (1)复数z在复平面内对应点位于第二象限； (2)𝑧·
17. (1)设x，𝑦∈𝑅，向量 =(𝑥,1)， =(1,𝑦)， =(2,−4)，且 ⊥， //，求| + |和
+与的夹角；
+2𝑖𝑧=8+𝑎𝑖 (𝑎∈𝑅)，试求a的取值范围．
y满足(2)设0为△𝐴𝐵𝐶的外心，𝐴𝐶=4，已知𝐴𝐵=3，非零实数x，求cos∠𝐵𝐴𝐶的值．
且𝑥+2𝑦=1，
18. 如图是调查某地某公司1000名员工的月收入后制作的直方图.根据直方图估
计：
(1)该公司月收入在1000元到1500元之间的人数． (2)该公司员工的月平均收入． (3)该公司员工收入的众数． (4)该公司员工月收入的中位数．
19. 已知在△𝐴𝐵𝐶中，𝑎2+𝑐2−𝑎𝑐=𝑏2．(Ⅰ)求角B的大小；
(Ⅱ)求
的最大值．
E是𝐴𝐵1𝐴𝐴1=3，𝐴𝐷=4，直四棱柱𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，20. 如图，
的中点，且𝐵𝐸⊥平面𝐴𝐵1𝐶1D. (1)证明：𝐴𝐵⊥𝐴𝐷；
(2)求二面角𝐸−𝐵𝐷−𝐷1的余弦值．
21. 由矩形ABCD与梯形AFEB构成平面多边形(如图1)，O为AB中点，且𝐴𝐵//𝐸𝐹，𝐴𝐵=2𝐸𝐹，
现将平面多边形沿AB折起，使矩形ABCD与梯形AFEB所在平面所成二面角为直二面角(如图2)． (1)若点P为CF的中点，求证：𝑂𝑃//平面DAF；
(2)过点C，B，F的平面将多面体EFADCB分割成两部分，求两部分体积的比值．
【答案与解析】
1.答案：A
解析：解：由条件复数z满足1+𝑖+(1+𝑖)2𝑧=(1−𝑖)2， 可知1+𝑖+2𝑖𝑧=−2𝑖， 𝑧=
−1−3𝑖2𝑖
=
−𝑖−3𝑖2−2
=−+𝑖，其虚部为2．
2
2
311
故选：A．
化简已知条件．利用复数的除法运算法则化简求解即可．
本题考查复数的代数形式的混合运算，复数除法的运算法则的应用，考查计算能力．
2.答案：B
⃗ −⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ +⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ =⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =⃗⃗⃗⃗⃗ 解析：解：⃗⃗⃗⃗⃗𝐶𝑀𝐵𝑀−⃗𝐷𝐵𝐶𝑀𝑀𝐵+⃗𝐵𝐷𝐶𝐷=⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵𝐴． 故选：B．
根据题意，即可得解．
本题考查了向量加法、减法运算，考查了计算能力，属于基础题．
3.答案：D
解析：试题分析：根据题意，由于学校有小学生126人，初中生280人，高中生95人，元素有明显的差异，那么可以采用分层抽样，当时介于总数为501，抽取的样本容量为100，不符合等比列的整数型，可知剔除一个个体即可，故选D． 考点：分层抽样
点评：主要是考查了抽样方法的运用，属于基础题。
4.答案：D
解析：解：∵𝐴，B是圆O：𝑥2+𝑦2=4上的两个动点，|⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵|=2， ∴△𝑂𝐴𝐵为等边三角形，
∴∠𝐴𝑂𝐵=60°
∵𝑀是线段AB的中点， ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1(𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ +⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )， ∴⃗𝑂𝑀𝑂𝐵2⃗⃗⃗⃗⃗ =𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ +𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵𝑂𝐶33
⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ +𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ +𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=(𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ +2𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +3𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=(4+8+3×2×2×∴𝑂𝐶
23366
12
1
1
2
1
2
2
1
1
2
)=3，
故选：D．
根据向量的数量积的运算和圆的有关性质即可求出．
本题考查了向量的数量积的运算和圆的有关性质，考查了运算能力，属于基础题．
5.答案：D
解析：解：𝐴:
；
𝐵:
；
𝐶: 若 且 则 又 ，由线面垂直的性质定理可知，正确；
𝐷: 若
故选D．
6.答案：C
解析：解：由频率分布直方图可得：(0.02+0.10+𝑎+0.08+0.04)×2.5=1， 解得：𝑎=0.16， 故选：C．
利用频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1即可求出a的值． 本题主要考查了频率分布直方图的应用，是基础题．
7.答案：A
解析：试题分析：因为所以选A。
考点：复数的运算；共轭复数的概念。
点评：复数在考试中一般是必出的一道小题，放在较靠前的位置，属于简单题，要求学生必须得分。因此，要对复数中的每个知识点都熟练掌握。同时，也要熟记一些常用公式：
。 ，所以
，
8.答案：A
解析：解：如图，设过A，B，C的截面圆的圆心为𝑂′，半径为r，球心O到该截面的距离为d，
PB，PC两两垂直，∴𝐴𝐵=𝐵𝐶=𝐶𝐴=因为PA，且𝑃𝐴=𝑃𝐵=𝑃𝐶=2，2√2，且𝑂′为△𝐴𝐵𝐶的中心， 于是
2√2𝑠𝑖𝑛60°
=2𝑟，得𝑟=
2√33
2√6
， 3
又𝑃𝑂′=√4−𝑟2=𝑂𝑂′=𝑅−
2√33
．
=𝑑=√𝑅2−𝑟2，解得𝑅=√3，
2
故𝑆球=4𝜋𝑅=12𝜋．
故选：A．
设过A，B，C的截面圆的圆心为𝑂′，半径为r，球心O到该截面的距离为d，利用PA，PB，PC两两垂直，𝑂′为△𝐴𝐵𝐶的中心，求出截面圆的半径，通过球的半径截面圆的半径球心与截面的距离，求出球的半径，即可求出球的表面积．
本题是基础题，考查球的表面积的求法，球的截面圆的有关性质，考查空间想象能力，计算能力．
9.答案：A
解析：解：若方程表示椭圆，则m，𝑛≠0， 则方程等价为
𝑥2
1𝑚
+
𝑦2
1𝑛
=1，
若方程表示焦点在y轴上椭圆， 则等价为𝑛>𝑚>0， 解得：𝑚>𝑛>0， 故选：A．
根据椭圆的标准方程，即可得到结论．
本题主要考查椭圆的定义和方程，将条件转化为标准方程形式是解决本题的关键．
1
1
10.答案：D
解析：试题分析：平面向量
，
，且
，所以
，
，选D．
考点：平面向量的坐标运算，平面向量的数量积、模．
11.答案：√2
解析：解：复数𝑧=𝑎+𝑏𝑖(𝑎,𝑏∈𝑅)在复平面内的对应点为(−1,1)，
则𝑧=−1+𝑖， 𝑧=−1−𝑖．
|𝑧|=√(−1)2+(−1)2=√2． 故答案为：√2．
复数𝑧=𝑎+𝑏𝑖(𝑎,𝑏∈𝑅)在复平面内的对应点为(−1,1)，可得𝑧=−1+𝑖，再利用复数的运算法则、共轭复数的定义、模的计算公式即可得出．
本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
12.答案：5，。
，
解析：试题分析：因为五个数1，2，3，4，a的平均数是3，所以
所以
考点：平均数；方差。
。
点评：本题直接考查平均数和方差的计算，熟记平均数和方差的公式是解题的关键。属于基础题型。
13.答案：2
解析：解：如图，当三棱锥A一BCD的体积最大值时，BC是A，B，C三点所在小圆的直径，且𝐴𝐵=𝐴𝐶，
B，C三点所在小圆的圆心为E，OD、OA，设A，连结OE、过O作𝑂𝐹⊥𝐴𝐷，交AD于F，
∴𝐴𝐹=𝐷𝐹=𝑂𝐸=1，则𝑂𝐴=𝑂𝐷=2，∴𝐴𝐸=𝐵𝐸=𝐶𝐸=√22−12=√3，
∴𝐴𝐵=𝐴𝐶=√(√3)2+(√3)2=√6， ∴三棱锥A一BCD的体积最大值为：
𝑉𝑚𝑎𝑥=3×𝑆△𝐴𝐵𝐶×𝐴𝐷=3×2×√6×√6×2=2． 故答案为：2．
当三棱锥A一BCD的体积最大值时，BC是A，B，C三点所在小圆的直径，且𝐴𝐵=𝐴𝐶，设A，B，C三点所在小圆的圆心为E，连结OE、OD、OA，过O作𝑂𝐹⊥𝐴𝐷，交AD于F，则𝑂𝐴=𝑂𝐷=2，
1
1
1
𝐴𝐹=𝐷𝐹=𝑂𝐸=1，𝐴𝐸=𝐵𝐸=𝐶𝐸=√3，𝐴𝐵=𝐴𝐶=√6，由此能求出三棱锥A一BCD的体积最大值．
本题考查三棱锥的体积的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
14.答案：4
解析：解：如图所示，以线段AB的中点D为坐标原点，BA的方向为x轴的正方形建立直角坐标系． 不妨设𝐴(𝑎,0)，则𝐵(−𝑎,0)，𝑃(0,𝑡)，𝑂(𝑚,𝑛)． ⃗⃗⃗⃗⃗ −𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ =(2𝑎,0)． ∴𝑂𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗ |=1， ∵|⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐴|=3，|⃗𝑂𝐵
∴(𝑚−𝑎)2+𝑛2=9，(𝑚+𝑎)2+𝑛2=1． ∴𝑚𝑎=−2．
⃗⃗⃗⃗⃗ −⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=⃗⃗⃗⃗⃗ ∴⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝑃⋅(𝑂𝐴𝑂𝐵𝑂𝑃⋅⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵𝐴=(−𝑚,𝑡−𝑛)⋅(2𝑎,0)=−2𝑚𝑎=4． 故答案为：4．
利用坐标系，利用向量的坐标运算、数量积运算及其性质即可得出．
本题考查了向量的坐标运算、数量积运算及其性质，考查了推理能力和计算能力，属于难题．
15.答案：√2
30°
解析：解：由A向BC作垂线，垂足为E， ∵𝐴𝐵=𝐴𝐶，∴𝐵𝐸=2𝐵𝐶=√3， ∵𝐴𝐵=2，∴𝑐𝑜𝑠𝐵=
𝐵𝐸1
=𝐴𝐵
√3
， 2
∴𝐵=30°，∵𝐴𝐵=𝐴𝐶，∴∠𝐶=∠𝐵=30°， ∴𝐴𝐸=𝐵𝐸⋅𝑡𝑎𝑛30°=√3×
√33
=1，
∵∠𝐴𝐷𝐶=45°，∴𝐴𝐷=sin∠𝐴𝐷𝐶=√2． 故答案为：√2，30°．
由A向BC作垂线，垂足为E，由已知条件求出cosB，从而能求出∠𝐶=∠𝐵=30°，进而能求出AE，由此利用正弦定理能求出AD的长．
𝐴𝐸
本题考查三角形的边长和角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意正弦定理的合理运用．
16.答案：(1)根据复数代数形式中的实部和虚部符号来判定。
(2)−6≤𝑎<0
解析：试题分析：设𝑧=𝑥+𝑦𝑖 (𝑥、𝑦∈𝑅)， 由(1)得𝑥<0，𝑦>0．
由(2)得𝑥2+𝑦2+2𝑖(𝑥+𝑦𝑖)=8+𝑎𝑖． 即𝑥2+𝑦2−2𝑦+2𝑥𝑖=8+𝑎𝑖． 由复数相等得，解得−6≤𝑎<0． 考点：复数的概念和计算
点评：本试题考查了基本的复数概念和运算，主要是利用相等来求解参数的范围，属于基础题。
17.答案：(1)| + |= ，与 的夹角为．
(2)
解析：试题分析：(1)利用平面向量的坐标运算求出公式求解；
(2)设AC的中点为D，由
得
的坐标，再利向量模的公式及向量的夹角
，结合条件的值．
可判断出
三点共线，于是可在直角三角形ABD中求出
试题解析：解：(1)
4分
设
与 的夹角为 ，
则
即与 的夹角为 7分
(2)设AC的中点为D
又
三点共线 12分
由O为 外心知 ，在 中，
所以， 14分
考点：1、平面向量的坐标运算；2、平面向量的数量积及线性运算．
18.答案：解：(1)[1−(0.0004+0.0005+0.0005+0.0003+0.0001)×500]×1000=100人，
(2)0.1×1250+0.2×1750+0.25×2250
+0.25×2750+0.15×3250+0.05×3750=2400元 (3)众数为2500元；
(4)根据频率分布直方图知，中位数介于2000至2500元之间，故可设中位数为x， 则由0.0002×500+0.0004×500 +0.0005×(𝑥−2000)=0.5， 解得𝑥=2400，
即公司员工收入的中位数为2400元．
解析：(1)在频率分步直方图中小长方形的面积为频率，用长乘以宽，得到频率，用频率乘以总体个数，可得该公司月收入在1000元到1500元之间的人数；
(2)利用区间中值乘以该组的频率，然后相加即可求出估计被调查者月收入的平均数． (3)出现次数最多的数；
(4)在频率分布直方图中，左右面积相等的数即为中位数．
本题主要考查了频率分布直方图，在频率分步直方图中小长方形的面积为频率，以及求平均数等有关知识，属于基础题．
19.答案：解：(Ⅰ)∵由余弦定理得：𝑐𝑜𝑠𝐵=
又∵角B为三角形内角，∴∠𝐵=3．
𝜋
𝑎2+𝑐2−𝑏2
2𝑎⋅𝑐
=2𝑎⋅𝑐=2，
𝑎⋅𝑐1
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得：∠𝐴+∠𝐶=𝜋−∠𝐵=∴∠𝐴=
2𝜋3
2𝜋3
，
−∠𝐶，
∴𝑐𝑜𝑠𝐴+𝑐𝑜𝑠𝐶 2𝜋
=cos(−𝐶)+𝑐𝑜𝑠𝐶
3
=cos
2𝜋2𝜋⋅𝑐𝑜𝑠𝐶+sin⋅𝑠𝑖𝑛𝐶+𝑐𝑜𝑠𝐶 33
1√3=−⋅𝑐𝑜𝑠𝐶+⋅𝑠𝑖𝑛𝐶+𝑐𝑜𝑠𝐶
221√3
⋅𝑐𝑜𝑠𝐶+⋅𝑠𝑖𝑛𝐶 22𝜋𝜋
=sin⋅𝑐𝑜𝑠𝐶+cos⋅𝑠𝑖𝑛𝐶
66=
𝜋=sin(𝐶+)
6
∵0<𝐶<∴
𝜋61
2𝜋3𝜋
，
5𝜋6𝜋
<𝐶+6<
，
∴2 2𝜋 2𝜋3𝜋 −∠𝐶，利用三角函数恒等变换的应用可求𝑐𝑜𝑠𝐴+𝑐𝑜𝑠𝐶=sin(𝐶+6)，结合 𝜋 5𝜋6 𝜋 ，可得6<𝐶+6<3 ，利用正弦函数的性质可求最大值． 20.答案：解：(1)证明：由题意直四棱柱𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，𝐴𝐴1⊥ 平面ABCD， 𝐴𝐷⊂平面ABCD，∴𝐴𝐷⊥𝐴𝐴1， 又𝐵𝐸⊥平面𝐴𝐵1𝐶1𝐷，𝐴𝐷⊂平面𝐴𝐵1𝐶1𝐷，∴𝐴𝐷⊥𝐵𝐸， 直四棱柱𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1的侧面为矩形，E是𝐴𝐵1的中点， ∴𝐵𝐸与𝐴𝐴1相交，∴𝐴𝐷⊥平面𝐴𝐵𝐵1𝐴1， ∵𝐴𝐵⊂平面𝐴𝐵𝐵1𝐴1，∴𝐴𝐵⊥𝐴𝐷． (2)解：以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，𝐴𝐴1为z轴，建立空间直角坐标系， ∵𝐵𝐸⊥平面𝐴𝐵1𝐶1𝐷，𝐴𝐵1⊂平面𝐴𝐵1𝐶1𝐷，∴𝐵𝐸⊥𝐴𝐵1， ∴四边形𝐴𝐵𝐵1𝐴1是正方形，𝐴𝐵=𝐴𝐴1=3， 𝐵(3,0，0)，𝐷(0,4，0)，𝐸(2,0，2)，𝐷1(0,4，3)， ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−,0,)，⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,4，0)，𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵𝐷𝐷𝐷1=(0,0，3)， 22⃗⃗⃗ =(𝑥,y，𝑧)， 设平面BDE的法向量为𝑚 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅𝑚𝐵𝐷⃗⃗⃗ =−3𝑥+4𝑦=03 ⃗⃗⃗ =(1,,1)， 则{，令𝑥=1，得𝑚334⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵𝐸⋅𝑚⃗⃗⃗ =−𝑥+𝑧=0 2 2 3 33 3 ⃗ =(𝑎,b，𝑐)， 设平面𝐵𝐷𝐷1的法向量𝑛 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅𝑛3𝐵𝐷⃗ =−3𝑎+4𝑏=0 ⃗ =(1,,0)， 则{，取𝑎=1，得𝑛4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐷𝐷⃗ =3𝑐=01⋅𝑛设二面角𝐸−𝐵𝐷−𝐷1的平面角为𝜃， 则𝑐𝑜𝑠𝜃=|𝑚=⃗⃗⃗ |⋅|𝑛⃗⃗ | |𝑚⃗⃗⃗ ⋅𝑛⃗⃗ | 5√4141 ． 5√41 ． 41 ∴二面角𝐸−𝐵𝐷−𝐷1的余弦值为 解析：(1)推导出𝐴𝐷⊥𝐴𝐴1，𝐴𝐷⊥𝐵𝐸，从而𝐴𝐷⊥平面𝐴𝐵𝐵1𝐴1，由此能证明𝐴𝐵⊥𝐴𝐷． (2)以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，𝐴𝐴1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角𝐸−𝐵𝐷−𝐷1的余弦值． 本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 21.答案：解：(1)取DF的中点N，连结AN，OP，NP， ∵𝑃是CF的中点， ∴𝑃𝑁∴𝑃𝑁 //1̲//̲ 𝐶𝐷，又𝐴𝑂2𝐴𝑂， //̲ 𝐶𝐷， ∴四边形AOPN是平行四边形， ∴𝑂𝑃//𝐴𝑁，又𝑂𝑃⊄平面DAF，𝐴𝑁⊂平面DAF， ∴𝑂𝑃//平面DAF． (2)过点F作𝐹𝐺⊥𝐴𝐵于G， ∵平面𝐴𝐵𝐶𝐷⊥平面AFEB，平面𝐴𝐵𝐶𝐷∩平面𝐴𝐹𝐸𝐵=𝐴𝐵，𝐹𝐺⊂平面AFEB，𝐵𝐶⊂平面ABCD， ∴𝐹𝐺⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷.𝐵𝐶⊥平面AFEB， ∴𝑉𝐹−𝐴𝐵𝐶𝐷=3𝑆矩形𝐴𝐵𝐶𝐷⋅𝐹𝐺=3𝐴𝐵×𝐵𝐶×𝐹𝐺． 𝑉𝐶−𝐵𝐸𝐹=3𝑆△𝐵𝐸𝐹⋅𝐵𝐶=3×2×𝐸𝐹×𝐹𝐺×𝐵𝐶=6×2𝐴𝐵×𝐵𝐶×𝐹𝐺=12𝐴𝐵×𝐵𝐶×𝐹𝐺． ∴ 𝑉𝐹−𝐴𝐵𝐶𝐷𝑉𝐶−𝐵𝐸𝐹 1 1 1 1 1 1 1 1 =4． 解析：(1)取FD中点N，连结AN，NP，OP，则可得四边形AOPN是平行四边形，于是𝑂𝑃//𝐴𝑁，得出𝑂𝑃//平面DAF； (2)过F作𝐹𝐺⊥𝐴𝐵，由面面垂直的性质可得𝐹𝐺⊥平面ABCD，𝐵𝐶⊥平面ABEF，用AB，BC，FG表示出两个棱锥的体积，得出体积比． 本题考查了线面平行的判定，棱锥的体积计算，属于中档题． 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容
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