◎李建波 (北京师范大学(珠海)附属高级中学ꎬ广东 珠海 519000)
【摘要】二项式定理是高中数学一块很重要的知识点ꎬ三项展开式系数问题频繁出现在各类大小考试中ꎬ此类问题既是高考的重要考点也是学生的难点ꎬ因此ꎬ本文分别介绍三项展开式系数问题的四种处理方法(定义法、分解因式法、分组法、赋值法)ꎬ供大家参考借鉴.
【关键词】三项式ꎻ分解因式法ꎻ分组法
三次项展开式系数问题既是高考重点也是学生难点ꎬ下面介绍四种破解之法.
一、定义法
定义法是利用乘方的定义、多项式运算法解决问题的方法.
例1 求(1+2x-3x2)6展开式中含x5项的系数.组合的定义和多项式乘法法则可以将x5项的系数分为三类.(ⅰ)在6个因式中取两个-3x2ꎬ一个2xꎬ三个1ꎬ则乘积
13
含有x5项有C26C4C3种取法ꎬ此种取法对应的系数为13213C26C4C3(-3)×2×1=1080.(ⅱ)在6个因式中取一个22132此种取法对应的系数为C16C5C2(-3)×2×1=-1440.
2
32-3x2ꎬ三个2xꎬ两个1ꎬ则乘积含有x5项有C16C5C2种取法ꎬ
5
C55(-1)ꎬ
利用二项式定理知:
(x-x-1)n的展开式的第r+1项为Tr+1=Crnxn-r(-x-1)r=Crn(-1)rxn-2r.
令n-2r=0ꎬ其中0≤r≤n≤5ꎬ且均为整数ꎬ可得两组解ꎬ分别为
{
n=4ꎬr=2
或者
{
n=2ꎬr=1.
355C35(-2)×(-1)+C5(-1)=-11.
22
所以展开式的常数项为C1×(-1)+5C4(-1)
四、赋值法
赋值法是将三项式展开式的一般表达式取特殊值求解的方法.
例4 求(1+x+x2)11的展开式中偶次项系数和.开式设为:
解 由题可知(1+x+x2)11最高次项为x22ꎬ故可将展(1+x+x2)11=b0+b1x1+b2x2+b3x3++b22x22.令x=1ꎬ有b0+b1+b2++b22=311ꎬ由①+②得b0+b2+b4++b22=311+1数和为.
2
【参考文献】
[1]教育部.普通高中数学课程标准(实验)[M].北京:人民教育出版社ꎬ2003.
[2]普通高中数学教材(选修2-3)[M].北京:人民教育出版社ꎬ2007.
令x=-1ꎬ有b0-b1+b2-+b22=1.
解 将(1+2x-3x2)6看成六个相同的因式相乘ꎬ根据
①②
311+1
ꎬ故偶次项系2
(ⅲ)在6个因式中取零个-3xꎬ五个2xꎬ一个1ꎬ则乘积含
1
有x5项有C56C1种取法ꎬ此种取法对应的系数为1051C56C1(-3)×2×1=192.
5
所以x的系数为1080-1440+192=-168.二、分解因式法
分解因式法是将三项式分解成两个二项式的积ꎬ再利
用二项式定理展开求解的方法.
例2 求(x2+3x+2)5的展开式中含x项的系数.
01122550501412)5=(C05x+C5xC5x++C5x)(C52x+C52x+32550C252x++C52x)ꎬ
14105
所以x的系数为C05C52+C5C52=240.
解 (x2+3x+2)5=[(x+1)(x+2)]5=(x+1)5(x+
三、分组法
分组法是将三项式添加括号变成两项ꎬ再利用二项式定理展开的方法.
例3 求(x-x-1-1)5的展开式中的常数项.
-14-11
x-1)5+C1)(-1)1++C4)(-1)4+5(x-x5(x-x
解 (x-x-1-1)5=[(x-x-1)-1]5=C05(x-
数学学习与研究 201821
因篇幅问题不能全部显示,请点此查看更多更全内容
Copyright © 2019- huatuowenda.com 版权所有 湘ICP备2023022495号-1
违法及侵权请联系:TEL:199 1889 7713 E-MAIL:2724546146@qq.com
本站由北京市万商天勤律师事务所王兴未律师提供法律服务