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三项展开式系数问题的四种破解方法

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              JIETIJIQIAOYUFANGFA解题技巧与方法 139三项展开式系数问题的四种破解方法三项展开式系数问题的四种破解方法

◎李建波 (北京师范大学(珠海)附属高级中学ꎬ广东 珠海 519000)

  【摘要】二项式定理是高中数学一块很重要的知识点ꎬ三项展开式系数问题频繁出现在各类大小考试中ꎬ此类问题既是高考的重要考点也是学生的难点ꎬ因此ꎬ本文分别介绍三项展开式系数问题的四种处理方法(定义法、分解因式法、分组法、赋值法)ꎬ供大家参考借鉴.

【关键词】三项式ꎻ分解因式法ꎻ分组法

三次项展开式系数问题既是高考重点也是学生难点ꎬ下面介绍四种破解之法.

一、定义法

定义法是利用乘方的定义、多项式运算法解决问题的方法.

例1 求(1+2x-3x2)6展开式中含x5项的系数.组合的定义和多项式乘法法则可以将x5项的系数分为三类.(ⅰ)在6个因式中取两个-3x2ꎬ一个2xꎬ三个1ꎬ则乘积

13

含有x5项有C26C4C3种取法ꎬ此种取法对应的系数为13213C26C4C3(-3)×2×1=1080.(ⅱ)在6个因式中取一个22132此种取法对应的系数为C16C5C2(-3)×2×1=-1440.

32-3x2ꎬ三个2xꎬ两个1ꎬ则乘积含有x5项有C16C5C2种取法ꎬ

C55(-1)ꎬ

利用二项式定理知:

(x-x-1)n的展开式的第r+1项为Tr+1=Crnxn-r(-x-1)r=Crn(-1)rxn-2r.

令n-2r=0ꎬ其中0≤r≤n≤5ꎬ且均为整数ꎬ可得两组解ꎬ分别为

{

n=4ꎬr=2

或者

{

n=2ꎬr=1.

355C35(-2)×(-1)+C5(-1)=-11.

22

所以展开式的常数项为C1×(-1)+5C4(-1)

四、赋值法

赋值法是将三项式展开式的一般表达式取特殊值求解的方法.

例4 求(1+x+x2)11的展开式中偶次项系数和.开式设为:

解 由题可知(1+x+x2)11最高次项为x22ꎬ故可将展(1+x+x2)11=b0+b1x1+b2x2+b3x3+􀆺+b22x22.令x=1ꎬ有b0+b1+b2+􀆺+b22=311ꎬ由①+②得b0+b2+b4+􀆺+b22=311+1数和为.

【参考文献】

[1]教育部.普通高中数学课程标准(实验)[M].北京:人民教育出版社ꎬ2003.

[2]普通高中数学教材(选修2-3)[M].北京:人民教育出版社ꎬ2007.

令x=-1ꎬ有b0-b1+b2-􀆺+b22=1.

解 将(1+2x-3x2)6看成六个相同的因式相乘ꎬ根据

①②

311+1

ꎬ故偶次项系2

(ⅲ)在6个因式中取零个-3xꎬ五个2xꎬ一个1ꎬ则乘积含

有x5项有C56C1种取法ꎬ此种取法对应的系数为1051C56C1(-3)×2×1=192.

所以x的系数为1080-1440+192=-168.二、分解因式法

分解因式法是将三项式分解成两个二项式的积ꎬ再利

用二项式定理展开求解的方法.

例2 求(x2+3x+2)5的展开式中含x项的系数.

01122550501412)5=(C05x+C5xC5x+􀆺+C5x)􀅰(C52x+C52x+32550C252x+􀆺+C52x)ꎬ

14105

所以x的系数为C05C5􀅰2+C5C5􀅰2=240.

解 (x2+3x+2)5=[(x+1)(x+2)]5=(x+1)5(x+

三、分组法

分组法是将三项式添加括号变成两项ꎬ再利用二项式定理展开的方法.

例3 求(x-x-1-1)5的展开式中的常数项.

-14-11

x-1)5+C1)(-1)1+􀆺+C4)(-1)4+5(x-x5(x-x

解 (x-x-1-1)5=[(x-x-1)-1]5=C05(x-

数学学习与研究 2018􀆰21

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