三项展开式系数问题的四种破解方法

◎李建波　(北京师范大学(珠海)附属高级中学ꎬ广东　珠海　５１９０００)

　　【摘要】二项式定理是高中数学一块很重要的知识点ꎬ三项展开式系数问题频繁出现在各类大小考试中ꎬ此类问题既是高考的重要考点也是学生的难点ꎬ因此ꎬ本文分别介绍三项展开式系数问题的四种处理方法(定义法、分解因式法、分组法、赋值法)ꎬ供大家参考借鉴.

【关键词】三项式ꎻ分解因式法ꎻ分组法

三次项展开式系数问题既是高考重点也是学生难点ꎬ下面介绍四种破解之法.

一、定义法

定义法是利用乘方的定义、多项式运算法解决问题的方法.

例１　求(１＋２ｘ－３ｘ２)６展开式中含ｘ５项的系数.组合的定义和多项式乘法法则可以将ｘ５项的系数分为三类.(ⅰ)在６个因式中取两个－３ｘ２ꎬ一个２ｘꎬ三个１ꎬ则乘积

１３

含有ｘ５项有Ｃ２６Ｃ４Ｃ３种取法ꎬ此种取法对应的系数为１３２１３Ｃ２６Ｃ４Ｃ３(－３)×２×１＝１０８０.(ⅱ)在６个因式中取一个２２１３２此种取法对应的系数为Ｃ１６Ｃ５Ｃ２(－３)×２×１＝－１４４０.

２

３２－３ｘ２ꎬ三个２ｘꎬ两个１ꎬ则乘积含有ｘ５项有Ｃ１６Ｃ５Ｃ２种取法ꎬ

５

Ｃ５５(－１)ꎬ

利用二项式定理知:

(ｘ－ｘ－１)ｎ的展开式的第ｒ＋１项为Ｔｒ＋１＝Ｃｒｎｘｎ－ｒ(－ｘ－１)ｒ＝Ｃｒｎ(－１)ｒｘｎ－２ｒ.

令ｎ－２ｒ＝０ꎬ其中０≤ｒ≤ｎ≤５ꎬ且均为整数ꎬ可得两组解ꎬ分别为

{

ｎ＝４ꎬｒ＝２

或者

{

ｎ＝２ꎬｒ＝１.

３５５Ｃ３５(－２)×(－１)＋Ｃ５(－１)＝－１１.

２２

所以展开式的常数项为Ｃ１×(－１)＋５Ｃ４(－１)

四、赋值法

赋值法是将三项式展开式的一般表达式取特殊值求解的方法.

例４　求(１＋ｘ＋ｘ２)１１的展开式中偶次项系数和.开式设为:

解　由题可知(１＋ｘ＋ｘ２)１１最高次项为ｘ２２ꎬ故可将展(１＋ｘ＋ｘ２)１１＝ｂ０＋ｂ１ｘ１＋ｂ２ｘ２＋ｂ３ｘ３＋􀆺＋ｂ２２ｘ２２.令ｘ＝１ꎬ有ｂ０＋ｂ１＋ｂ２＋􀆺＋ｂ２２＝３１１ꎬ由①＋②得ｂ０＋ｂ２＋ｂ４＋􀆺＋ｂ２２＝３１１＋１数和为.

２

【参考文献】

[１]教育部.普通高中数学课程标准(实验)[Ｍ].北京:人民教育出版社ꎬ２００３.

[２]普通高中数学教材(选修２－３)[Ｍ].北京:人民教育出版社ꎬ２００７.

令ｘ＝－１ꎬ有ｂ０－ｂ１＋ｂ２－􀆺＋ｂ２２＝１.

解　将(１＋２ｘ－３ｘ２)６看成六个相同的因式相乘ꎬ根据

①②

３１１＋１

ꎬ故偶次项系２

(ⅲ)在６个因式中取零个－３ｘꎬ五个２ｘꎬ一个１ꎬ则乘积含

１

有ｘ５项有Ｃ５６Ｃ１种取法ꎬ此种取法对应的系数为１０５１Ｃ５６Ｃ１(－３)×２×１＝１９２.

５

所以ｘ的系数为１０８０－１４４０＋１９２＝－１６８.二、分解因式法

分解因式法是将三项式分解成两个二项式的积ꎬ再利

用二项式定理展开求解的方法.

例２　求(ｘ２＋３ｘ＋２)５的展开式中含ｘ项的系数.

０１１２２５５０５０１４１２)５＝(Ｃ０５ｘ＋Ｃ５ｘＣ５ｘ＋􀆺＋Ｃ５ｘ)􀅰(Ｃ５２ｘ＋Ｃ５２ｘ＋３２５５０Ｃ２５２ｘ＋􀆺＋Ｃ５２ｘ)ꎬ

１４１０５

所以ｘ的系数为Ｃ０５Ｃ５􀅰２＋Ｃ５Ｃ５􀅰２＝２４０.

解　(ｘ２＋３ｘ＋２)５＝[(ｘ＋１)(ｘ＋２)]５＝(ｘ＋１)５(ｘ＋

三、分组法

分组法是将三项式添加括号变成两项ꎬ再利用二项式定理展开的方法.

例３　求(ｘ－ｘ－１－１)５的展开式中的常数项.

－１４－１１

ｘ－１)５＋Ｃ１)(－１)１＋􀆺＋Ｃ４)(－１)４＋５(ｘ－ｘ５(ｘ－ｘ

解　(ｘ－ｘ－１－１)５＝[(ｘ－ｘ－１)－１]５＝Ｃ０５(ｘ－

数学学习与研究　２０１８􀆰２１